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四、3D投影几何以及变换
在这一讲我们将会学习3D投影空间的几何性质，它的很多概念是由2D投影空间：即投影平面
泛化得到。
1、3D投影空间中的点
- 欧式空间
:
,为非齐次的卡式坐标。
- 3D投影空间
:
,除去
表示为齐次投影坐标。如果
,则
代表代表欧式空间
。
- 等效关系：如果存在一个值
，它使得
，那么我们称二者等效，写作
- 无穷远点：齐次坐标
表示无穷远点，也叫理想点。它们形成一个平面
=
,该平面与所有无穷远点有关系
2、3D投影空间中的平面
3D投影空间可以写成
该式可以缩写称：
其中,前面三个数字表示该平面的法向量。如果用非齐次坐标来表示，那么有
,那么相应的
,其中
,
,
。那么我们可以用非齐次的方式把上面的缩写写成：
- 三个不共线的点确定一个平面
- 两个不同的平面相交于一条直线
- 三个不同的平面相交于一个点
3、3D投影空间中的二次曲面
（1）3D投影空间中二次曲面的定义：
（2）二次曲面的一些性质：
- *度为9，
对称矩阵*度为10，再减去一个全局尺度，所以为9。
- 一般位置上的9个点确定一个二次曲面。
- 如果矩阵
是奇异的，那么二次曲面是退化的，它可以由更少的点确定。
- 二次曲面的对偶依然是二次曲面。
上图是一些二次曲面的例子
4、投影相机
（1）投影相机定义
其中表示世界坐标系中的点。
表示图像坐标点。
5、3D投影变换
对于齐次坐标的3D投影空间中的两个点
，我们把它们之间的投影变换用一个
的非奇异矩阵
，表示如下：
它的*度为15，因为它去掉一个缩放因子。
（1）欧式变换
对于3D投影空间的齐次坐标点
，欧式变换为：
它的*度为6：3个为欧拉角转换到旋转矩阵，3个为偏移向量
。
它的不变量为：长度和角度
（2）相似变换
对于3D投影空间的齐次坐标点
，相似变换为：
和2D投影相似变换一样，它比欧式变换多了一个缩放因子，所以*度为6+1=7。不变量为角度、长度比，面积比
（3）仿射变换
对于3D投影空间的齐次坐标点
，仿射变换为：
仿射变换矩阵的*度为12，其中9个*度为非奇异矩阵
，3个为偏移向量
。不变量为平行性质、体积比、无穷远平面
（4）投影变换
对于3D投影空间的齐次坐标点
，投影变换为：
其中为单应性矩阵：
它的*度为15：16个*度减去一个缩放因子。不变量为接触表面的接、交，以及交比。
（5）3D单应性矩阵在点、平面、二次曲面的使用
点：
面：
二次曲面：