本系列是*大学资讯工程系林軒田（Hsuan-Tien Lin）教授开设的《机器学习基石》课程的梳理。重在梳理，而非详细的笔记，因此可能会略去一些细节。
该课程共16讲，分为4个部分：
- 机器什么时候能够学习？（When Can Machines Learn？）
- 机器为什么能够学习？（Why Can Machines Learn？）
- 机器怎样学习？（How Can Machines Learn？）
- 机器怎样可以学得更好？（How Can Machines Learn Better？）
本文是第3部分，对应原课程中的9-12讲。
本部分的主要内容：
- 线性回归算法详解，以及泛化能力的保证、能否用于二分类问题等；
- 逻辑回归算法详解，并引入梯度下降方法；
- 阐述PLA、线性回归、逻辑回归3种方法在分类问题上的联系与区别，并引入随机梯度下降方法；
- 多分类问题中的OVA、OVO方法；
- 特征的非线性变换，以及该如何控制变换后的复杂度。
1 线性回归
在第一部分中讲过机器学习的分类，当\(\mathcal{Y}=\mathbb{R}\)时，就是回归。
1.1 线性回归算法
线性回归的假设集十分简单，\(h(\mathbf{x})=\mathbf{w}^T\mathbf{x}\)，其实就是感知机模型去除了符号函数。
它的逐点误差度量可设为\(\text{err}(\hat{y}, y)=(\hat{y}-y)^2\)，那么样本内外的误差分别为
\[E_{\text{in}}(\mathbf{w})=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}(\mathbf{w}^T \mathbf{x}_n-y_n)^2 \]
和
\[E_{\text{out}}(\mathbf{w})=\mathop{\mathcal{E}}\limits_{(\mathbf{x},y)\sim P}(\mathbf{w}^T \mathbf{x}-y)^2 \]
要最小化\(E_{\text{in}}\)很简单，当它取到最小时必有梯度为\(0\)，因此可先计算出它的梯度：
\[\nabla E_{\text{in}}(\mathbf{w})=\dfrac{2}{N}(X^T X\mathbf{w}-X^T \mathbf{y}) \]
令它为\(0\)即可。如图所示：
若\(X^T X\)可逆（当\(N\gg d+1\)时基本上会满足），则可直接得出
\[\mathbf{w}_{\text{LIN}}=(X^T X)^{-1} X^T \mathbf{y} \]
如果\(X^T X\)是奇异的呢？可先定义“伪逆”（pseudo-inverse）\(X^\dagger\)，在定义完后有
\[\mathbf{w}_{\text{LIN}}=X^\dagger \mathbf{y} \]
在实践中，建议直接使用\(X^\dagger\)，一方面可避免判断\(X^T X\)是否可逆，另一方面就算在几乎不可逆的情况下，它也是在数值上稳定的。
1.2 线性回归的泛化
线性回归看起来没有“学习”过程，是一步到位的，那么它算机器学习吗？
事实上，只要可以保证\(E_{\text{out}}(\mathbf{w}_\text{LIN})\)足够小，那么就可以说“发生了”学习。
在这里，我们不从VC维理论出发，而从另一个角度说明为什么\(E_{\text{out}}(\mathbf{w}_\text{LIN})\)会足够小。
我们先来看平均的\(E_{\text{in}}\)有多大：
\[\overline{E_{\text{in}}}=\mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}\sim P^N}\{E_{\text{in}}(\mathbf{w}_\text{LIN} \text{ w.r.t } \mathcal{D})\} \]
其中
\[\begin{split} E_{\text{in}}(\mathbf{w}_\text{LIN})&=\dfrac{1}{N}\Vert \mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\Vert^2\\ &=\dfrac{1}{N}\Vert (I-XX^\dagger)\mathbf{y}\Vert^2 \end{split}\]
可将\(H=XX^\dagger\)称为hat matrix，因为它可将\(\mathbf{y}\)映射到\(\hat{\mathbf{y}}\)。由下图可知，若\(\mathbf{y}\)由理想的\(f(X)\in \text{span}\)加上噪声\(\mathbf{noise}\)生成，那么\(I-H\)也可将\(\mathbf{noise}\)映射为\(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\)：
而\(\text{trace}(I-H)=N-(d+1)\)，迹可以理解为“能量”，因此有
\[\begin{split} E_{\text{in}}(\mathbf{w}_\text{LIN}) &= \dfrac{1}{N}\Vert \mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\Vert^2\\ &= \dfrac{1}{N}\Vert (I-H)\mathbf{noise}\Vert^2\\ &= \dfrac{1}{N}(N-(d+1))\Vert\mathbf{noise}\Vert^2 \end{split} \]
如果对\(E_{\text{in}}\)取平均，大概可以理解为
\[\overline{E_{\text{in}}}=\mathbf{noise}\text{ level} \cdot (1-\dfrac{d+1}{N}) \]
类似地有
\[\overline{E_{\text{out}}}=\mathbf{noise}\text{ level} \cdot (1+\dfrac{d+1}{N}) \]
（证明过程略）。
因此\(\overline{E_{\text{in}}}\)和\(\overline{E_{\text{out}}}\)的关系如图：
若\(N\to\infty\)，则二者都收敛于\(\sigma^2\)（\(\mathbf{noise}\text{ level}\)），泛化误差的期望为\(\dfrac{2(d+1)}{N}\)。因此，学习是会“发生”的！
VC维理论说明的是\(E_{\text{in}}\)和\(E_{\text{out}}\)相差较远的概率有上限，而这里说明的是它们的平均差距会收敛。角度不同，但两种方式都说明了泛化的能力。
1.3 用线性回归进行二分类
在线性分类中，\(\mathcal{Y}=\{+1,-1\}\)，\(h(\mathbf{x})=\text{sign}({\mathbf{w}^T\mathbf{x}})\)，\(\text{err}(\hat{y},y)=\mathbf{1}_{[\hat{y}\ne y]}\)，找它的最优解是个NP-hard问题。
由于\(\{+1,-1\}\subset \mathbb{R}\)，即样本的正负类别也能用实数表示，而在线性回归中\(\mathcal{Y}=\mathbb{R}\)，那么，直接来一发线性回归，得到\(\mathbf{w}_\text{LIN}\)，然后让\(g(\mathbf{x})=\text{sign}(\mathbf{w}_\text{LIN}^T\mathbf{x})\)，这是否可行呢？
把线性分类和线性回归的误差度量分别记为\(\text{err}_{0/1}=\mathbf{1}_{[\text{sign}(\mathbf{w}^T\mathbf{x})\ne y]}\)和\(\text{err}_\text{sqr}=({\mathbf{w}^T\mathbf{x}- y})^2\)，它们的关系如下图：
从中可直观地看出，\(\text{err}_{0/1} \le \text{err}_\text{sqr}\)一定成立。由此，有
\[\begin{split} &\text{classification} E_\text{out}(\mathbf{w})\\ \overset{VC}{\le} & \text{classification} E_\text{in}(\mathbf{w})+\sqrt{\cdots}\\ \le & \text{regression} E_\text{in}(\mathbf{w})+\sqrt{\cdots} \end{split} \]
也就是说，让回归的\(E_{\text{in}}\)做得足够好，也可以使得分类的\(E_{\text{out}}\)足够小，只不过上限更宽松一些而已。这样做就是用边界的紧度（bound tightness）换取计算效率（efficiency）。
一般\(\mathbf{w}_\text{LIN}\)可用来作为PLA或pocket算法的初始向量。
2 逻辑回归
2.1 逻辑回归算法
二分类中，我们感兴趣的是
\[f(\mathbf{x})=\text{sign}(P(+1|\mathbf{x})-\dfrac{1}{2}) \in {+1,-1} \]
但在很多场景下，我们想要做的是“软”（soft）分类，即得到某个分类的概率，此时感兴趣的是
\[f(\mathbf{x})=P(+1|\mathbf{x}) \in [0,1] \]
问题在于，我们得到的数据标签是样本的类别，而非样本被分到某个类的概率。
对于一个样本的所有特征\(\mathbf{x}=(x_0, x_1, x_2, \cdots,x_d)\)，令\(s=\sum\limits_{i=0}^{d} w_i x_i\)。我们可用逻辑函数（logistic function）\(\theta(s)\)将它转换成估计的概率。也就是说，逻辑回归（logistic regression）的假设为\(h(\mathbf{x})=\theta(\mathbf{w}^T\mathbf{x})\)。
最常用的逻辑函数是
\[\theta(s)=\dfrac{e^s}{1+e^s}=\dfrac{1}{1+e^{-s}} \]
函数图像如下：
可见，它是个光滑的、单调的、“S”形的（sigmoid）函数。
接下来，要定义逻辑回归的\(E_\text{in}(\mathbf{w})\)。先将目标函数\(f(\mathbf{x})=P(+1|\mathbf{x})\)反表示为
\[P(y|\mathbf{x})=\begin{cases} f(\mathbf{x})&\text{for } y=+1\\ 1-f(\mathbf{x})&\text{for } y=-1 \end{cases} \]
假设手中的数据集为
\[\mathcal{D}=\{(\mathbf{x}_1,\circ),(\mathbf{x}_2,\times),\ldots, (\mathbf{x}_N,\times)\} \]
那么，由\(f\)生成\(\mathcal{D}\)的概率为
\[\begin{split} &P(\mathbf{x}_1)f(\mathbf{x}_1)\\ \times &P(\mathbf{x}_2)(1-f(\mathbf{x}_2))\\ \times &\cdots\\ \times &P(\mathbf{x}_N)(1-f(\mathbf{x}_N) \end{split} \]
由我们的假设\(h\)生成\(\mathcal{D}\)的似然（likelihood）为
\[\begin{split} &P(\mathbf{x}_1)h(\mathbf{x}_1)\\ \times &P(\mathbf{x}_2)(1-h(\mathbf{x}_2))\\ \times &\cdots\\ \times &P(\mathbf{x}_N)(1-h(\mathbf{x}_N) \end{split} \]
如果\(h\approx f\)，那么\(h\)生成\(\mathcal{D}\)的似然也应该接近于由\(f\)生成\(\mathcal{D}\)的概率，并且由\(f\)生成\(\mathcal{D}\)的概率应该是较大的（正好被我们抽样抽到）。所以，机器学习算法可以取
\[g=\mathop{\arg\max}\limits_{h} \text{likelihood}(h) \]
若\(h(\mathbf{x})=\theta(\mathbf{w}^T\mathbf{x})\)，由函数的性质可知，\(1-h(\mathbf{x})=h(-\mathbf{x})\)，所以
\[\begin{split} &\text{likelihood}(h)\\ =&P(\mathbf{x}_1)h(\mathbf{x}_1)\\ \times &P(\mathbf{x}_2)h(-\mathbf{x}_2)\\ \times &\cdots\\ \times &P(\mathbf{x}_N)h(-\mathbf{x}_N) \end{split} \]
而\(P(\mathbf{x}_1)\)、\(P(\mathbf{x}_2)\)、……、\(P(\mathbf{x}_N)\)都与\(h\)无关，因此有
\[\text{likelihood}(\text{logistic } h)\propto \prod\limits_{n=1}^N h(y_n\mathbf{x}_n) \]
现在要将它最大化，以找出最终的\(h\)。可先把\(\theta(s)\)代入，再取对数（对数函数单调，不改变最大化取值的点），变为
\[\max\limits_\mathbf{w} \ln\prod\limits_{n=1}^N\theta(y_n\mathbf{w}^T\mathbf{x}_n) \]
再取相反数（最大化变为最小化）、除\(N\)（不改变最值点）后，又可变为
\[\min\limits_\mathbf{w} \dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^N - \ln \theta(y_n\mathbf{w}^T\mathbf{x}_n) \]
将\(\theta(s)\)展开得到
\[\min\limits_\mathbf{w} \dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^N \ln \left(1+\exp(-y_n\mathbf{w}^T\mathbf{x}_n)\right) \]
令
\[\text{err}(\mathbf{w},\mathbf{x},y)=\ln\left(1+\exp(-y\mathbf{w}\mathbf{x})\right) \]
这就是交叉熵误差（cross-entropy error），而\(\sum\limits_{n=1}^N \text{err}(\mathbf{w},\mathbf{x}_n,y_n)\)就是\(E_\text{in}(\mathbf{w})\)。
2.2 梯度下降
接下来就要最小化\(E_\text{in}(\mathbf{w})\)，它是连续的、可微的、二次可微的、凸的，因此可以试着让它梯度为\(0\)。求出它的梯度
\[\nabla E_{\text{in}}(\mathbf{w})=\dfrac{1}{N}\sum_{n=1}^N\theta(-y_n\mathbf{w}^T\mathbf{x}_n)(-y_n\mathbf{x}_n) \]
它的梯度可以看成是以\(\theta(\cdot)\)为权重的\(-y_n\mathbf{x}_n\)的加权平均。要让它为0，有两种方式：
- 让所有的\(\theta(-y_n\mathbf{w}^T\mathbf{x}_n)\)都为0，这意味着所有样本都满足\(y_n\mathbf{w}_n\mathbf{x}_n\gg 0\)，也即\(\mathcal{D}\)是线性可分的；
- 若\(\mathcal{D}\)不是线性可分的，要让加权和为0，这是个非线性方程，没有闭式解（closed-form solution）。
可用与PLA中类似的方法进行迭代，即\(\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t+\eta\mathbf{v}\)，其中\(\mathbf{v}\)确定了更新的方向，\(\eta\)确定了更新的步长，如图：
怎么迭代呢？可用贪心算法，一步步让\(E_\text{in}\)变小。假设已经给定某个\(\eta\)，要确定\(\mathbf{v}\)的方向，每一步的更新问题就转换成了
\[\min\limits_{\Vert\mathbf{v}\Vert=1}E_\text{in}(\mathbf{w}_t+\eta\mathbf{v}) \]
看起来仿佛更难解了。但如果\(\eta\)足够小，我们可以用局部线性近似展开它（泰勒展开，Taylor expansion）：
\[E_\text{in}(\mathbf{w}_t+\eta\mathbf{v})\approx E_\text{in}(\mathbf{w}_t)+\eta\mathbf{v}^T\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t) \]
式中\(E_\text{in}(\mathbf{w}_t)\)和\(\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)\)已知，\(\eta\)给定，只需确定\(\mathbf{v}\)即可，注意到上式第二项本质上是两个向量内积，当两个向量方向相反时值最小，因此要最小化上式，可取
\[\mathbf{v}=-\dfrac{\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)}{\Vert\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)\Vert} \]
梯度下降的迭代更新就变成了：对于给定的较小\(\eta\)，
\[\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t-\eta\dfrac{\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)}{\Vert\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)\Vert} \]
\(\eta\)太小会导致非常慢，太大会导致不稳定，最好用变化的\(\eta\)，如下图所示：
那么，\(\eta\)怎么变比较好？可让它与\(\Vert\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)\Vert\)正相关，将原来固定的\(\eta\)乘上\(\Vert\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)\Vert\)即可。这样，更新规则也就变成了
\[\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t-\eta{\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_t)} \]
这个新的\(\eta\)可叫作固定的学习率（learning rate）。
3 分类的线性模型
3.1 三种算法的比较
记\(s=\mathbf{w}^T\mathbf{x}\)，以下是总结三种模型（线性分类、线性回归、逻辑回归）：
这里的\(ys\)可称为分类正确度分数（classification correctness score），即度量分类有多正确，该值越大，说明分类越“正确”。
若将交叉熵误差函数\(\text{err}_\text{CE}(s,y)\)做scale（除\(\ln 2\)），得到
\[\text{err}_\text{SCE}(s,y)=\log_2(1+\exp(-ys)) \]
把它们的误差函数都画出来，可得下图：
从图中可知，一定有
\[\text{err}_{0/1} \le \text{err}_\text{SCE}(s,y) = \dfrac{1}{\ln 2}\text{err}_\text{CE}(s,y) \]
由此可以用VC维理论证明，使用\(\text{err}_\text{CE}\)也可以做好分类任务，有两种思路：
- 从分类的角度出发，有
\[\begin{split} E_\text{out}^{0/1}(\mathbf{w})&\le E_\text{in}^{0/1}(\mathbf{w})+\Omega^{0/1}\\ &\le \dfrac{1}{\ln 2} E_\text{in}^\text{CE}(\mathbf{w})+\Omega^{0/1} \end{split} \]
- 从交叉熵角度出发，有
\[\begin{split} E_\text{out}^{0/1}(\mathbf{w})&\le \dfrac{1}{\ln 2} E_\text{out}^\text{CE}(\mathbf{w})\\ &\le \dfrac{1}{\ln 2} E_\text{in}^\text{CE}(\mathbf{w})+\dfrac{1}{\ln 2}\Omega^\text{CE} \end{split} \]
不管用哪种方式，只要保证\(E_\text{in}^\text{CE}\)足够小，都可以保证\(E_\text{out}^{0/1}(\mathbf{w})\)也足够小，也就是说，使用逻辑回归或线性回归都可以做线性分类。
用PLA、线性回归、逻辑回归做分类，三种方法的优缺点如下：
3.2 随机梯度下降
PLA每次迭代的时间复杂度为\(O(1)\)，但逻辑回归（或pocket算法）每次迭代都需要对\(\mathcal{D}\)中的所有样本进行一次运算，时间复杂度为\(O(N)\)，能不能让每次迭代的时间复杂度也变成\(O(1)\)？
我们在做更新\(\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t+\eta\mathbf{v}\)时，取了
\[\begin{split} \mathbf{v}&=-\nabla E_{\text{in}}(\mathbf{w}_t)\\ &=-\dfrac{1}{N}\sum_{n=1}^N\theta(-y_n\mathbf{w}_t^T\mathbf{x}_n)(-y_n\mathbf{x}_n) \end{split} \]
可以看到，计算梯度需要遍历所有样本，复杂度实在太高了。可将它里面的\(\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}\)看作是期望\(\mathcal{E}\)，相当于不断随机抽一个样本计算出来的结果的平均。若将随机抽一个样本\(n\)算出来的梯度称为随机梯度\(\nabla_\mathbf{w}\text{err}(\mathbf{w},\mathbf{x}_n,y_n)\)，那么真正的梯度可看作是它的期望：
\[\nabla_\mathbf{w} E_\text{in}(\mathbf{w})=\mathop{\mathcal{E}}_{\text{random }n}\nabla_\mathbf{w}\text{err}(\mathbf{w},\mathbf{x}_n,y_n) \]
这样，就可以用随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）进行迭代。它的好处是非常简单，计算的成本低，非常适用于大数据或在线学习的情况，缺点是不够稳定。
在逻辑回归中，用SGD更新的步骤就变成了
\[\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t+\eta\cdot \theta(-y_n\mathbf{w}_t^T\mathbf{x}_n)(y_n\mathbf{x}_n) \]
这与PLA中的更新步骤十分相似，PLA中是这样的：
\[\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t+1 \cdot \mathbf{1}_{[y_N\ne \text{sign}(\mathbf{w}_t^T \mathbf{x}_n)]}(y_n\mathbf{x}_n) \]
因此用SGD的逻辑回归，可以看作是“软”的PLA。而反过来，若取\(\eta=1\)，则PLA在\(\mathbf{w}_t^T \mathbf{x}_n\)很大的时候也可以看作是用SGD的逻辑回归。
在用SGD时，有两个经验法则：
- 什么时候停止？\(t\)足够大的时候就可以（不要判断梯度是否真的为0，否则又会带来梯度计算的复杂度）；
- 当\(\mathbf{x}\)在一般范围内时，就取\(\eta=0.1\)吧。
4 多分类问题
4.1 用逻辑回归做多分类
假设\(\mathcal{Y}=\{\square, \diamondsuit,\triangle,\star\}\)，数据分布如下图：
可对每个类别分别做一次分类，如下图：
但这样做，在最后要把它们结合起来时，会出现问题，有些区域无法判定属于哪一类：
怎么解决呢？可以用逻辑回归做“软”分类器，依旧是对每个类别\(k\)，用数据集
\[\mathcal{D}_{[k]}=\{(\mathbf{x}_n,y_n'=2\cdot\mathbf{1}_{[y_n=k]}-1)\}_{n=1}^{N} \]
做一次逻辑回归，得到一个分类器\(\mathbf{w}_{[k]}\)：
做完后要将它们结合起来，可取\(g(\mathbf{x})=\arg\max_{k\in\mathcal{Y}}\theta(\mathbf{w}_{[k]}^T\mathbf{x})\)，这样就得到某个点应该属于哪一类了：
这样做称为OVA（One-Versus-All） Decomposition，好处是有效率，可以和类似逻辑回归的方法结合起来，但缺点在于当\(K\)很大时，往往会使\(\mathcal{D}_{[k]}\)非常不平衡，比如有100类，并且分布比较均匀，OVA每次用于训练的样本的两类数据的个数就会非常悬殊。
可以再进行扩展，如multinomial ('coupled') logistic regression，加入一些如“属于不同类的概率加起来应该为1”之类的限制，让它更适合用于多分类。
4.2 用二分类做多分类
为了克服不平衡问题，可以对两两类别进行训练，即用数据集
\[\mathcal{D}_{[k,\ell]}=\{(\mathbf{x}_n,y_n'=2\cdot\mathbf{1}_{[y_n=k]}-1):y_n=k\text{ or } y_n=\ell\} \]
进行线性二分类：
最后，取
\[g(\mathbf{x})=\text{tournament champion}\{\mathbf{w}_{[k,\ell]}^T\mathbf{x}\} \]
即可：
这样的方法叫作OVO（One-Versus-One）Decomposition，好处在于有效率（因为每次训练用的数据量较少），并且是稳定的，可以和任何二分类方法相结合，但缺点在于不断计算\(\mathbf{w}_{[k,\ell]}\)的操作总共的复杂度是\(O(K^2)\)，需要更多运算空间。当\(K\)不是非常大时，OVO很常用。
5 非线性变换
对于某些数据集来说，不管怎么使用线性模型，\(E_{in}\)都很大：
5.1 二次的假设集
我们发现，如果用一个圆来做它的分类界线，它其实是可分的：
所以我们要重新设计圆形PLA、圆形回归、……吗？当然不是。我们可以将\(\mathbf{x}\in\mathcal{X}\)用变换\(\Phi\)映射到\(\mathbf{z}\in\mathcal{Z}\)，使得在\(\mathcal{X}\)中圆形可分的数据在\(\mathcal{Z}\)中线性可分。
通过由\(\Phi_2(\mathbf{x})=(1,x_1,x_2,x_1^2,x_1x_2,x^2_2)\)映射而来的\(\mathcal{Z}\)空间，可构成一般的二次假设集：
\[\mathcal{H}_{\Phi_2}=\{h(\mathbf{x}):h(\mathbf{x})=\tilde h(\Phi_2(\mathbf{x}))\text{ for some linear }\tilde h \text{ on }\mathcal{Z}\} \]
当然也可以用更高次的非线性变换，用非线性变换的流程如下图：
具体步骤如下：
- 先用\(\Phi\)将\(\{(\mathbf{x}_n,y_n)\}\)变换到\(\{(\mathbf{z}_n=\Phi(\mathbf{x}_n),y_n)\}\)；
- 用\(\{(\mathbf{z}_n,y_n)\}\)和线性分类算法\(\mathcal{A}\)训练出模型\(\tilde{\mathbf{w}}\)；
- 返回\(g(\mathbf{x})=\text{sign}\left(\tilde{\mathbf{w}}^T \Phi(\mathbf{x})\right)\)即可。
5.2 复杂度的代价
假设用\(Q\)次的非线性变换：
\[\begin{split} \Phi_Q(\mathbf{x})=(&1,\\ &x_1,x_2,\ldots,x_d,\\ &x_1^2,x_1 x_2,\ldots,x_d^2,\\ &\cdots,\\ &x_1^Q,x_1^{Q-1}x_2,\ldots,x_d^Q) \end{split} \]
式中的项数\(1+\tilde d\)是多少呢？若有\(d\)个特征，可以在补上1后认为上面式子后边的每一项都是\(Q\)次的，也就是说要对\(d+1\)项每项都赋予一个次数，并且所有次数之和必须为\(Q\)。可以用隔板法：想象共有\(Q+d+1\)个小球，要在它们的空隙中放入\(d\)个隔板，隔成\(d+1\)段，每一段的小球个数减去1代表了对应位置的项的次数，由于要求每段中至少有1个小球，因此两端不能放隔板，共有\(Q+d\)个位置可放隔板，共有\(\binom{Q+d}{d}\)种放法，也就是说，上式等号右边的项数
\[1+\tilde d=\binom{Q+d}{d}=O(Q^d) \]
当\(Q\)较大时，一方面计算或存储的成本非常高，另一方面\(1+\tilde d\)是\(d_\text{VC}(\mathcal{H}_{\Phi_Q})\)的上界，\(Q\)太大会导致\(d_\text{VC}\)过大，模型损失了泛化能力。
5.3 \(Q\)的选择
如何选择\(Q\)？假设\(\Phi_0(\mathbf{x})=(1)\)，\(\Phi_1(\mathbf{x})=\left(\Phi_0(\mathbf{x}),x_1,x_2,\ldots,x_d,\right)\)，……，\(\Phi_Q(\mathbf{x})=\left(\Phi_{Q-1}(\mathbf{x}),x_1^Q,x_1^{Q-1}x_2,\ldots,x_d^Q,\right)\)，将它们的假设集分别记为\(\mathcal{H}_0\)，\(\mathcal{H}_1\)，……，\(\mathcal{H}_Q\)，它们存在嵌套关系
\[\mathcal{H}_0 \subset \mathcal{H}_1\subset\mathcal{H}_2\subset\cdots \]
如图所示：
并且，它们的VC维满足
\[d_\text{VC}(\mathcal{H}_0)\le d_\text{VC}(\mathcal{H}_1)\le d_\text{VC}(\mathcal{H}_2)\le\cdots \]
若取\(g_i=\arg\min_{h\in \mathcal{H}_i} E_\text{in}(h)\)，则它们的\(E_\text{in}\)满足
\[E_\text{in}(g_0)\ge E_\text{in}(g_1)\ge E_\text{in}(g_2)\ge \cdots \]
如何选择\(Q\)？安全的做法是，先看\(E_\text{in}(g_1)\)是否已经足够小，如果足够小，就可以了，否则，就用再稍微复杂一些的模型，也就是在下图中向右移动：