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矢量场的通量
首先我们来看一道初中物理题：
小明乘帆船出行，刮来一阵妖风，假设帆的面积为 S S S , 和妖风的夹角为 α \alpha α ，妖风在每单位面积上的垂直风压为 P P P ，求妖风对帆的推动力
那么聪明伶俐的我们一定知道，这道题的答案应该是 F = S × P × sin ( α ) F = S \times P \times \sin(\alpha) F=S×P×sin(α) 。
如果我们用
A
⃗
\vec{A}
A
表示风的向量（且
π
2
−
α
\frac{\pi}{2} - \alpha
2π−α ，结合高中数学知识我们知道上述公式也可以写成
F
=
S
⋅
A
⃗
⋅
e
⃗
n
F = S \cdot \vec{A} \cdot \vec{e}_{n}
F=S⋅A
⋅e
n
如果我们现在再把题目弄复杂一点，假设船帆不是一个平面，而是一个空间中的曲面
Σ
\Sigma
Σ ，在
Σ
\Sigma
Σ 所在的每一点（面积微元
d
S
dS
dS ）处，其法向量为
e
⃗
n
\vec{e}_{n}
e
n ，根据大学数学知识我们可以得到：
F
=
∬
Σ
A
⃗
⋅
e
⃗
n
d
S
F = \iint_\Sigma{\vec{A} \cdot \vec{e}_{n} dS}
F=∬ΣA
⋅e
ndS
于是我们就得到了通量
Φ
\Phi
Φ 的定义:
在矢量场中，取一个有向曲面
S
⃗
\vec{S}
S
，则矢量场
A
ˉ
\bar{A}
Aˉ 在
S
⃗
\vec{S}
S
上的面积分称为矢量
A
⃗
\vec{A}
A
穿过曲面
S
⃗
\vec{S}
S
的通量，即
Φ
=
∫
S
A
⃗
∙
d
S
⃗
=
∫
S
A
⃗
⋅
e
⃗
n
d
S
=
∫
S
A
⃗
⋅
d
S
⃗
\Phi=\int_{S} \vec{A} \bullet \mathrm{d} \vec{S}=\int_{S} \vec{A} \cdot \vec{e}_{n} \mathrm{~d} S=\int_{S} \vec{A} \cdot \mathrm{~d} \vec S
Φ=∫SA
∙dS
=∫SA
⋅e
n dS=∫SA
⋅ dS
通量的物理意义: 不同物理量的通量意义不同。 以流速场为例，流速场 v ⃗ \vec{v} v 的通量表示单位时间 内流体穿过 S ⃗ \vec{S} S 的流量。
表示穿出闭合
S
⃗
\vec{S}
S
面的净流量
Φ
=
∮
S
v
⃗
⋅
d
S
⃗
\Phi=\oint_{S} \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{S}
Φ=∮Sv
⋅dS
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
通量无法说明闭合面内每一点处的性质，怎么办？ 散度
矢量场的散度(divergence)
散度的定义
现在我们把该曲面以其内部一点
M
M
M 为中心按比例不断缩小，若通量与体积
V
V
V 的比值存在极限，就把该极限叫做该点的散度（divergence）.矢量场
A
⃗
\vec{A}
A
在点
M
M
M处的散度 ，表示单位体积发出的通量—— 通量体密度 。
div
A
ˉ
=
lim
V
→
0
∮
s
A
ˉ
⋅
d
S
ˉ
Δ
V
\begin{aligned} &\operatorname{div} \bar{A}=\lim _{V \rightarrow 0} \frac{\oint_{s} \bar{A} \cdot d \bar{S}}{\Delta V}\\ \end{aligned}
divAˉ=V→0limΔV∮sAˉ⋅dSˉ
{ div A ⃗ > 0 该点有正源 div A ⃗ < 0 该点有负源 div A ⃗ = 0 该点无源 \left\{\begin{array}{ll} \operatorname{div} \vec{A}>0 & \text { 该点有正源 } \\ \operatorname{div} \vec{A}<0 & \text { 该点有负源 } \\ \operatorname{div} \vec{A}=0 & \text { 该点无源 } \end{array}\right. ⎩⎨⎧divA >0divA <0divA =0 该点有正源 该点有负源 该点无源
散度的计算
根据高斯一奥斯特洛格拉范基公式, 可得
⇒
div
A
⃗
=
lim
Δ
V
→
0
∮
S
A
⃗
⋅
d
S
⃗
Δ
V
=
lim
Δ
V
→
0
∮
Δ
V
∇
⋅
A
⃗
d
V
Δ
V
\Rightarrow \operatorname{div} \vec{A}=\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\oint_{S} \vec{A} \cdot d \vec{S}}{\Delta V}=\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\oint_{\Delta V} \nabla \cdot \vec{A} \mathrm{~d} V}{\Delta V}
⇒divA
=ΔV→0limΔV∮SA
⋅dS
=ΔV→0limΔV∮ΔV∇⋅A
dV
根据积分中值定理，可得
⇒
div
A
⃗
=
lim
Δ
V
→
0
∮
Δ
V
∇
⋅
A
⃗
d
V
Δ
V
=
lim
Δ
V
→
0
(
∇
⋅
A
⃗
)
P
Δ
V
Δ
V
⇒
div
A
⃗
=
∇
⋅
A
⃗
\begin{array}{l} \Rightarrow \operatorname{div} \vec{A}=\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\oint_{\Delta V} \nabla \cdot \vec{A} \mathrm{~d} V}{\Delta V}=\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{(\nabla \cdot \vec{A})_{\mathrm{P}} \Delta V}{\Delta V} \\ \Rightarrow \operatorname{div} \vec{A}=\nabla \cdot \vec{A} \end{array}
⇒divA
=limΔV→0ΔV∮ΔV∇⋅A
dV=limΔV→0ΔV(∇⋅A
)PΔV⇒divA
=∇⋅A
其中
∇
⋅
A
⃗
=
∂
A
x
∂
x
+
∂
A
y
∂
y
+
∂
A
z
∂
z
\nabla \cdot \vec{A}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}
∇⋅A
=∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az
散度小结：
- 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中任一点发散性质的量；
- 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
- 在矢量场中, 若 ∇ ⋅ A ˉ = ρ ≠ 0 \nabla \cdot \bar{A}=\rho \neq 0 ∇⋅Aˉ=ρ=0 ， 称之为有源场, ρ \rho ρ 称为(通量)源密度;
- 若场中处处 ∇ ⋅ A ˉ = 0 \nabla \cdot \bar{A}=0 ∇⋅Aˉ=0, 称之为无源场。
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
直角坐标系中的散度
若在直角坐标系中给出矢量场
F
(
x
,
y
,
z
)
=
F
x
(
x
,
y
,
z
)
x
^
+
F
y
(
x
,
y
,
z
)
y
^
+
F
z
(
x
,
y
,
z
)
z
^
(
3
)
\begin{aligned}&\boldsymbol{\mathbf{F}} (x,y,z) = F_x(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + F_y(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + F_z(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}&(3)\\\end{aligned}
F(x,y,z)=Fx(x,y,z)x^+Fy(x,y,z)y^+Fz(x,y,z)z^(3)
令闭合曲面为立方体
[
x
,
y
,
z
]
−
[
x
+
h
,
y
+
h
,
z
+
h
]
[x, y, z]-[x+h, y+h, z+h]
[x,y,z]−[x+h,y+h,z+h] 的表面. 先来考虑
x
x
x 方向两个正方 形的通量
Φ
x
\Phi_{x}
Φx, 在点
r
(
x
,
y
,
z
)
\mathbf{r}(x, y, z)
r(x,y,z) 附近对
F
x
(
r
)
F_{x}(\mathbf{r})
Fx(r) 使用全微分近似 得（为简便书写，以下的函 数值和偏导都默认在
r
\mathbf{r}
r 处取值
)
)
)
F
x
(
x
+
x
′
,
y
+
y
′
,
z
+
z
′
)
≈
F
x
+
∂
F
x
∂
x
x
′
+
∂
F
x
∂
y
y
′
+
∂
F
x
∂
z
z
′
F_{x}\left(x+x^{\prime}, y+y^{\prime}, z+z^{\prime}\right) \approx F_{x}+\frac{\partial F_{x}}{\partial x} x^{\prime}+\frac{\partial F_{x}}{\partial y} y^{\prime}+\frac{\partial F_{x}}{\partial z} z^{\prime}
Fx(x+x′,y+y′,z+z′)≈Fx+∂x∂Fxx′+∂y∂Fxy′+∂z∂Fxz′
由于只有
x
x
x 方向的场分量对
Φ
x
\Phi_{x}
Φx 有贡献,
Φ
x
≈
∫
0
h
∫
0
h
d
y
′
d
z
′
×
[
(
F
x
+
∂
F
x
∂
x
h
+
∂
F
x
∂
y
y
′
+
∂
F
x
∂
z
z
′
)
−
(
F
x
+
∂
F
x
∂
x
0
+
∂
F
x
∂
y
y
′
+
∂
F
x
∂
z
z
′
)
]
=
∂
F
x
∂
x
h
∫
0
h
∫
0
h
d
y
′
d
z
′
=
∂
F
x
∂
x
h
3
=
∂
F
x
∂
x
V
\begin{aligned} \Phi_{x} & \approx \int_{0}^{h} \int_{0}^{h} \mathrm{~d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime} \times \\ &\left[\left(F_{x}+\frac{\partial F_{x}}{\partial x} h+\frac{\partial F_{x}}{\partial y} y^{\prime}+\frac{\partial F_{x}}{\partial z} z^{\prime}\right)-\left(F_{x}+\frac{\partial F_{x}}{\partial x} 0+\frac{\partial F_{x}}{\partial y} y^{\prime}+\frac{\partial F_{x}}{\partial z} z^{\prime}\right)\right] \\ &=\frac{\partial F_{x}}{\partial x} h \int_{0}^{h} \int_{0}^{h} \mathrm{~d} y^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime}=\frac{\partial F_{x}}{\partial x} h^{3}=\frac{\partial F_{x}}{\partial x} V \end{aligned}
Φx≈∫0h∫0h dy′dz′×[(Fx+∂x∂Fxh+∂y∂Fxy′+∂z∂Fxz′)−(Fx+∂x∂Fx0+∂y∂Fxy′+∂z∂Fxz′)]=∂x∂Fxh∫0h∫0h dy′dz′=∂x∂Fxh3=∂x∂FxV
同理可以得到另外四个正方形的通量. 六个正方形的总通量为
Φ
≈
(
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
)
V
\Phi \approx\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}\right) V
Φ≈(∂x∂Fx+∂y∂Fy+∂z∂Fz)V
根据定义式 2，可得直角坐标中的散度公式
∇
⋅
F
=
lim
V
→
0
Φ
V
=
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F}=\lim _{V \rightarrow 0} \frac{\Phi}{V}=\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}
∇⋅F=V→0limVΦ=∂x∂Fx+∂y∂Fy+∂z∂Fz
从形式上，我们可以引入一个
∇
\boldsymbol{\nabla}
∇ 算符，在直角坐标系中的形式为
∇
=
x
^
∂
∂
x
+
y
^
∂
∂
y
+
z
^
∂
∂
z
\boldsymbol{\nabla}=\hat{\mathbf{x}} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{\mathbf{y}} \frac{\partial}{\partial y}+\hat{\mathbf{z}} \frac{\partial}{\partial z}
∇=x^∂x∂+y^∂y∂+z^∂z∂
那么
∇
⋅
F
(
r
)
\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r})
∇⋅F(r) 从形式上可以看做矢量算符
∇
\boldsymbol{\nabla}
∇ 与某点场矢量
F
(
r
)
\mathbf{F}(\mathbf{r})
F(r) 的 “内积”
.
.
. 根据式
7.
7 .
7. 显然散度是一个线性算符，即多个矢量场的线性组合的散度等于它们分别求散度再线性组合
∇
⋅
[
C
1
F
1
(
r
)
+
C
2
F
2
(
r
)
+
…
]
=
C
1
∇
⋅
F
1
(
r
)
+
C
2
∇
⋅
F
2
(
r
)
+
…
\boldsymbol{\nabla} \cdot\left[C_{1} \mathbf{F}_{1}(\mathbf{r})+C_{2} \mathbf{F}_{2}(\mathbf{r})+\ldots\right]=C_{1} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F}_{1}(\mathbf{r})+C_{2} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F}_{2}(\mathbf{r})+\ldots
∇⋅[C1F1(r)+C2F2(r)+…]=C1∇⋅F1(r)+C2∇⋅F2(r)+…
散度描述了向量场在该点附近总体发散的程度，往外发散或往内汇聚，或不变。
- 如果该封闭曲面的通量 > 0 >0 >0, 则散度 > 0 >0 >0 ，代表该微元总体往外发散。
- 如果该封闭曲面的通量 < 0 <0 <0, 则散度 < 0 <0 <0 ，代表该微元总体往内汇聚。
- 如果该封闭曲面的通量 = 0 =0 =0, 则散度 = 0 =0 =0, 代表该微元总体不发散不汇聚。
从流量来理解，就散度代表了，该点总体是往外流出 (散度 > 0 >0 >0 )， 还是水在往内流入 (散 度 < 0 <0 <0 ， 或者总体不变 (散度 = 0 =0 =0 )。
例子，质点引力场的散度 。
令质点
m
m
m 在坐标原点, 则它的引力场 为
g
(
r
)
=
−
G
m
r
3
r
\mathbf{g}(\mathbf{r})=-\frac{G m}{r^{3}} \mathbf{r}
g(r)=−r3Gmr
我们在直角坐标系中计算该场的散度. 直角坐标系中, 有
r
=
x
x
^
+
y
y
^
+
z
z
^
\mathbf{r}=x \hat{\mathbf{x}}+y \hat{\mathbf{y}}+z \hat{\mathbf{z}}
r=xx^+yy^+zz^ 和
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
,
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \quad
r=x2+y2+z2
, 代入上式再求散度, 得
∇
⋅
g
=
G
m
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
5
/
2
[
(
2
x
2
−
y
2
−
z
2
)
+
(
2
y
2
−
z
2
−
x
2
)
+
(
2
z
2
−
x
2
−
y
2
)
]
=
0
(
11
)
\begin{aligned}&\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{g}} &= \frac{Gm}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/2}} [(2x^2 - y^2 - z^2) + (2y^2 - z^2 - x^2) + (2z^2 - x^2 - y^2)]\\ &= 0 \end{aligned}&(11)\\\end{aligned}
∇⋅g=(x2+y2+z2)5/2Gm[(2x2−y2−z2)+(2y2−z2−x2)+(2z2−x2−y2)]=0(11)
可见引力场的散度为 0. 然而需要注意的是, 在坐标原点处式 10 的各个方向的偏导都不存 在, 所以不能用该公式计算散度。以上的结论只适用于原点之外的点.
散度定理
我们来考虑一个有限大的闭合曲面并计算通量 Φ . \Phi . Φ. 我们先把曲面内的空间划分成许多体 积足够小的微元，第 i i i 个的体积微元为 V i V_{i} Vi, 通量为 Φ i ≈ ∇ ⋅ F ( r i ) V i . \Phi_{i} \approx \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F}\left(\mathbf{r}_{i}\right) V_{i} . Φi≈∇⋅F(ri)Vi. 现在来证明所有小曲面的通量之和等于大曲面的通量.
图 1 ： 证 明 所 有 小 曲 面 的 通 量 之 和 等 于 大 曲 面 的 通 量 图 1~~：证明所有小曲面的通量之和等于大曲面的通量 图1 ：证明所有小曲面的通量之和等于大曲面的通量
图 1中所有微元的曲面可划分为两部分，一是相邻两个小曲面的边界（红色），二是小曲面与大曲面重合的部分（黑色）．前者产生的通量之和为零，因为这些边界都是由正方向相反的两块小曲面重合而成，它们产生的通量等大反向，互相抵消．后者产生的通量等于大曲面的通量，这是因为每块黑色边界都是由正方向相同的小曲面和大曲面重合而成，产生的通量等大同向．所以总通量等于
Φ
=
∑
i
Φ
i
≈
∑
i
∇
⋅
F
(
r
i
)
V
i
\Phi=\sum_{i} \Phi_{i} \approx \sum_{i} \nabla \cdot \mathbf{F}\left(\mathbf{r}_{i}\right) V_{i}
Φ=i∑Φi≈i∑∇⋅F(ri)Vi
令微元趋近无穷小，上面的求和变为定积分（积分范围默认为
V
)
\mathcal{V})
V)
Φ
=
∫
∇
⋅
F
(
r
)
d
V
\Phi=\int \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}) \mathrm{d} V
Φ=∫∇⋅F(r)dV
所以散度定理就是，矢量场在任意闭合曲面的通量等于矢量场的散度在曲面所围空间的体积分.
高斯公式
散度、旋度与对应的定理
散度对应高斯公式，又称散度定理。
旋度对应格林公式、乃至其三维形式的斯托克斯公式，又称旋度定理。
散度、旋度的正式定义
对于一矢量函数（矢量场） A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i ⃗ + Q ( x , y , z ) j ⃗ + R ( x , y , z ) k ⃗ \quad \mathbf{A}(x, y, z)=P(x, y, z) \vec{i}+Q(x, y, z) \vec{j}+R(x, y, z) \vec{k} A(x,y,z)=P(x,y,z)i +Q(x,y,z)j +R(x,y,z)k 。
其散度为 ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} ∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R, 是标量。
其旋度为 ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) i ⃗ + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) j ⃗ + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) k ⃗ \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \vec{k} (∂y∂R−∂z∂Q)i +(∂z∂P−∂x∂R)j +(∂x∂Q−∂y∂P)k , 是向量。
高斯公式
已知向量场 v ⃗ ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i ⃗ + Q ( x , y , z ) j ⃗ + R ( x , y , z ) k ⃗ \vec{v}(x, y, z)=P(x, y, z) \vec{i}+Q(x, y, z) \vec{j}+R(x, y, z) \vec{k} v (x,y,z)=P(x,y,z)i +Q(x,y,z)j +R(x,y,z)k , 取曲面微元 d S d S dS,法向量为 n ⃗ = ( cos α , cos β , cos γ ) \vec{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) n =(cosα,cosβ,cosγ) 。
则该微元的通量为：
v
⃗
⋅
n
⃗
d
S
=
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
S
=
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
\begin{aligned} \vec{v} \cdot \vec{n} d S &=(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d S \\ &=P d y d z+Q d z d x+R d x d y \end{aligned}
v
⋅n
dS=(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
如果微元曲面
Σ
\Sigma
Σ 为封闭曲面, 围成了封闭区域
Ω
\Omega
Ω, 则可以由高斯定理得:
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
S
=
(
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
)
d
v
(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d S=\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) d v
(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS=(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv
把右边的式子除以体积, 这样得到的式子就与体积无关了。
记向量场 v ⃗ \vec{v} v 在点 M M M 的散度为 div v ⃗ ( M ) = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z , \operatorname{div} \quad \vec{v}(M)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}, \quad divv (M)=∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R, (带入 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) M(x0,y0,z0) 算出散度 ) ) ) 。
记向量场 v ⃗ \vec{v} v 的散度为 div v ⃗ = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z \operatorname{div} \quad \vec{v}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} divv =∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R 。 （通量与散度的组合）
高斯公式为：
∭
Ω
(
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
)
d
v
⏟
对
空
间
闭
区
域
内
部
每
一
个
小
方
块
的
散
度
之
和
=
∬
Σ
⊂
⊃
=
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
S
⏟
空
间
闭
合
曲
面
表
面
的
流
量
之
和
\begin{aligned}\underbrace{\iiint\limits_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv}_{对空间闭区域内部每一个小方块的散度之和}=\underbrace{\iint_{\mathbb{\Sigma}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset =(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS}_{空间闭合曲面表面的流量之和}\end{aligned}
对空间闭区域内部每一个小方块的散度之和
Ω∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv=空间闭合曲面表面的流量之和
∬Σ⊂⊃=(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
意思为，在封闭区域
Ω
\Omega
Ω 中，每一点的散度，即每一点的流出或流入的流量之和，最终等于封 闭区域
Ω
\Omega
Ω 表面的闭曲面
Σ
\Sigma
Σ 流出或流入的流量。
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参考
多元微积分——环量、旋度与格林、斯托克斯公式，通量、散度与高斯公式