方程的解

方程\(Ax = b\)的解可以表示为：特解 + 通解的形式。
求特解的方法为：将所有*变量的值设为\(0\)

解的一般性讨论

设\(A\)为一个\(m \times n\)矩阵，\(R(A) = r\)，显然\(r \leq \min(m,n)\)。

若\(r = n\)，则称\(A\)是一个列满秩矩阵；若\(r = m\)，则称\(A\)是一个行满秩矩阵；特别地\(r = n = m\)，则\(A\)是可逆的。

讨论秩的个数、行数、列数与解的个数的关系：

1. \(r = m = n\)，此时\(R = I\)，方程只有\(1\)个解
2. \(r = n < m\)，此时无*变量，\(R = [I,\mathbf{0}]^T\)，方程有\(0\)或\(1\)个解。
3. \(r = m < n\)，此时无非零行，但是有*变量，\(R = [I,F]\)，方程有\(\infty\)个解
4. \(r < m, r < n\)，此时\(R = [I, F \vdots \mathbf{0}, \mathbf{0}]\)，方程有\(0\)或\(\infty\)个解。