文章目录
- 向量定义
- 2 向量运算
- 2.1 Vector Addition(向量加法)
- 2.2 Scalar Vector Multiplication(标量向量乘法)
- 2.3 Properties of Vector Arithmetic(向量运算性质)
- 3 基向量和坐标
- 4 多维向量空间
- 附
向量的两个基本属性：
方向（向量运动的方向）大小（向量运动的速度大小）；
向量定义
- 向量（vector）指有大小（magnitude）和方向的量；
数学表示
-
代数表示：
- 一般印刷用黑体小写英文字母a、b 等来表示，手写在字母上加一箭头（→）表示；
- 或用大写字母AB、CD 上加一箭头（→）表示；
-
几何表示：向量可以用有向线段来表示；
- 有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也是向量的长度；
- 长度为
0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量；
-
坐标表示：
- 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量
i，j作为一组基底； - a 为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得
a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a=(x,y)。这就是向量a 的坐标表示。其中(x,y) 就是点P 的坐标。向量a 称为点P 的位置向量。 - 三维、多维空间直角坐标同理；
- 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量
相等、平行向量
如下图，a 、b 、c 相互平行；
1.1 零向量
即大小为零的向量，但它仍有方向，方向任意，仍是一条有向线段，仍具向量的所有属性；
2 向量运算
线性代数中有两个基本的向量运算，向量加法和标量向量乘法（向量数乘）;
2.1 Vector Addition(向量加法)
设有向量$\overrightarrow{u}$ 和 $\overrightarrow{v}$，两者矢量相加 $\overrightarrow{u}$+$\overrightarrow{v}$即使 $\overrightarrow{v}$ 的尾点与 $\overrightarrow{u}$ 的始点重合来构造的，也可是从 $\overrightarrow{u}$ 的尾点与$\overrightarrow{v}$的始点重合来构造的；向量减法类同；
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2.2 Scalar Vector Multiplication(标量向量乘法)
当向量$\overrightarrow{v}$ 与标量 k 相乘时，得到了与 $\overrightarrow{v}$ 平行的向量$k\overrightarrow{v}$，其长度为 $|k||\overrightarrow{v}|$，如果 k 是负的，则 $k\overrightarrow{v}$ 的方向与 $\overrightarrow{v}$相反，如果k=0，则 $k\overrightarrow{v}$ 为零向量；
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2.3 Properties of Vector Arithmetic(向量运算性质)
2.3.1 The Middle Point Formula(中点公式)
假设点 M 是介于线段 AB 的中点，有另一点 O ，则向量 $\overrightarrow{O M}$，可写为
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\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})
Example：Sierpinski Triangles
using the Middle Point Theorem (用中点公式实现谢尔宾斯基三角形) more
假设有一个由三个点组成的三角形，利用中点公式计算每个边的中点，这些中点可以连接成四个新的三角形，其中中心三角形是空的。如果对每个新的非空三角形重复这个过程，就会得到 Sierpinski 三角形；
3 基向量和坐标
3.1 一维坐标
设 $\overrightarrow{e}$ 为一维直线上的非零基向量，$\overrightarrow{e}$ 与一维直线上的每一个向量都平行，对一维直线上任意向量$\overrightarrow{v}$ 有且仅有一个数值 x 使
\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{e}
则称 $\overrightarrow{e}$ 为基向量，而 x 为一维空间 的坐标值；
3.2 二维坐标
设 $\overrightarrow{e_1}$和 $\overrightarrow{e_2}$是两个非平行基向量(它们总位于一个平面上)，对于该平面上任意向量 $\overrightarrow{v}$ 都有且仅有一个二元坐标值 (x，y)使
\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}
则称$\overrightarrow{e_1}$和 $\overrightarrow{e_2}$为基向量，而 （x，y） 为二维空间$R^2$的坐标值；
3.3 三维坐标
设 $\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow{e_3}$是三个非零基向量，且没有平面与所有三个向量平行，对该三维空间中的任意向量$\overrightarrow{v}$有且仅有一个三元坐标值(x，y，z)使
\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}+z\overrightarrow{e_3}
则称 $\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow{e_3}$ 为基向量，而 （x，y，z） 为三维空间$R^3$的坐标值；
3.4 列向向量表示法
设 $\overrightarrow{v}$ 为基向量也是列向量，在 n 维空间 n∈[1,2,3] 中是一个由 n 个标量（或称向量元素）组成的列向量，如
也可用一种更紧凑的向量表示方法
\overrightarrow{w}=(w_1,w_2,w_3)
其中
\vec{u}=u_{x} \vec{e}_{1}\\ \vec{v}=v_{x} \vec{e}_{1}+v_{y} \vec{e}_{2}\\\vec{w}=w_{x} \vec{e}_{1}+w_{y} \vec{e}_{2}+w_{z} \vec{e}_{3}
在线性代数中，一般所说的"向量"，都为默认是行向量；
3.5 向量转置
任何向量，无论是行向量还是列向量都可以互相转置，这意味着行向量转置变列向量，列向量转置变行向量，而向量元素的顺序不变，即
\vec{v}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {5}\end{array}\right), \quad \vec{v}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{lll}{1} & {2} & {5}\end{array}\right)
注意，行向量在向量元素之间没有逗号，这是为了与列向量的表示法进行区分；
3.6 列向量的运算
设向量 $\overrightarrow{u}$ 和 $\overrightarrow{v}$ 在相同的基向量下得到，即
\vec{u}=u_{x} \vec{e}_{1}+u_{y} \vec{e}_{2}+u_{z} \vec{e}_{3}=\left(\begin{array}{c}{u_{x}} \\ {u_{y}} \\ {u_{z}}\end{array}\right) \quad, \quad \vec{v}=v_{x} \vec{e}_{1}+v_{y} \vec{e}_{2}+v_{z} \vec{e}_{3}=\left(\begin{array}{c}{v_{x}} \\ {v_{y}} \\ {v_{z}}\end{array}\right)
3.6.1 列向量加法
就是向量元素相加；
\begin{aligned} \vec{u}+\vec{v}=& u_{x} \vec{e}_{1}+u_{y} \vec{e}_{2}+u_{z} \vec{e}_{3}+v_{x} \vec{e}_{1}+v_{y} \vec{e}_{2}+v_{z} \vec{e}_{3} \\=&\left(u_{x}+v_{x}\right) \vec{e}_{1}+\left(u_{y}+v_{y}\right) \vec{e}_{2}+\left(u_{z}+v_{z}\right) \vec{e}_{3} \\ &=\left(\begin{array}{c}{u_{x}+v_{x}} \\ {u_{y}+v_{y}} \\ {u_{z}+v_{z}}\end{array}\right) \end{aligned}
3.6.2 列向量数乘
\begin{aligned} k \vec{v} &=k\left(v_{x} \vec{e}_{1}+v_{y} \vec{e}_{2}+v_{z} \vec{e}_{3}\right) \\ &=\left(k v_{x}\right) \vec{e}_{1}+\left(k v_{y}\right) \vec{e}_{2}+\left(k v_{z}\right) \vec{e}_{3} \\ &=\left(\begin{array}{c}{k v_{x}} \\ {k v_{y}} \\ {k v_{z}}\end{array}\right) \end{aligned}
3.7 标准基向量
对于不同的基向量，即使同一向量，有不同的向量坐标，为了统一标准，我们设定标准基向量；
n 维标准基向量的向量元素除第 n 个为 1 外其他都为 0 ，即
以下是一个在标准基向量下的向量加法
4 多维向量空间
4.1 实坐标空间
实坐标空间$R^n$ 的向量元素都为实数（Real number），实坐标空间的基向量是一组向量 ${\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}...\overrightarrow{e_m}}$ ，则对于任意在$R^n$ 中向量 $\overrightarrow{u}$，有且仅有唯一的坐标值 $(u_1,u_2,...,u_m)$ ，即
\vec{u}=\sum_{i=1}^{m} u_{i} \vec{e}_{i}
同理实坐标向量中的标准基向量为
\left\{\begin{array}{l}{\vec{e}_{1}=(1,0, \ldots, 0)} \\ {\vec{e}_{2}=(0,1, \ldots, 0)} \\ {\vdots} \\ {\vec{e}_{n}=(0,0, \ldots, 1)}\end{array}\right.
4.2 二阶多项式与向量
实际上二阶实数多项式是一个在实坐标空间内的向量，如有二阶实数多项式 $u=u_0+u_1x+u_2x^2$和$v=v_0+v_1x+v_2x^2$ ，则二阶多项式的加法就是向量的加法，二阶多项式的数乘就是向量的数乘，即
\begin{array}{c}{\vec{u}+\vec{v}=\left(u_{0}+v_{0}\right)+\left(u_{1}+v_{1}\right) x+\left(u_{2}+v_{2}\right) x^{2}} \\ {k \vec{u}=k u_{0}+k u_{1} x+k u_{2} x^{2}}\end{array}
附
相等向量：
如果可以将某向量 $\overrightarrow{u}$ 移动到另一条具有相同方向和长度的向量 v ，能使他们重合，则它们构成相同的向量；
平行向量：
向量加法与减法：
向量数乘：
向量数乘：
通过使用三个互成直角的向量来创建一个 Box (方框，即三维向量坐标），如果这三个向量取基向量，则这个 Box 的长宽高取决于每个基向量的数乘；
中点公式：
谢尔宾斯基三角形：