前言
向量运算中的系数拆分技巧
典例剖析
分析：由题目可知\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，
将其系数做恰当的拆分得到，\((\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\vec{0}\)，
如图即\(2\overrightarrow{OD}=-4\overrightarrow{OE}\)，即\(\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{OE}\)，
即可知点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(DE\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。
理由如下：以\(OA\)和\(OC\)为邻边做平行四边形\(AOCG\)，则点\(D\)为\(AC\)的中点，
同理，点\(E\)为\(BC\)的中点，则可知\(DE\)为中位线，又\(\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{OE}\)，
则\(O、D、E\)三点共线，故点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(DE\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。
令点\(B\)到边\(AC\)的高线为\(h\)，则过点\(E\)和边\(AC\)平行的直线必然会平分高线\(h\)，
又由于点\(O\)是\(DE\)的三等分点之一，故\(\triangle AOC\) 的高为\(\cfrac{h}{2}\)的\(\cfrac{2}{3}\)，
则\(S_{\Delta ABC}=\cfrac{1}{2}\cdot AC\cdot h\)，\(S_{\Delta AOC}=\cfrac{1}{2}\cdot AC\cdot \cfrac{h}{2}\cdot \cfrac{2}{3}=\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{1}{2}\cdot AC\cdot h\)，
故\(\Delta ABC\)的面积与\(\Delta AOC\)的面积之比为3。
【反思总结】：线段等分点的向量给出方式，
二等分点(中点)：\(\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)是\(AB\)的中点；
三等分点：\(\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)是\(AB\)的靠近\(B\)的三等分点；
四等分点：\(\overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)是\(AB\)的靠近\(B\)的四等分点；
分析：由题目可知\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，
将其系数做恰当的拆分得到，\((\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\vec{0}\)，
如图即\(2\overrightarrow{OF}=-4\overrightarrow{OE}\)，即\(\overrightarrow{OF}=-2\overrightarrow{OE}\)，
即可知\(E、O、F\)三点共线，且点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(EF\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。
理由如下：以\(OA\)和\(OC\)为邻边做平行四边形\(AOCG\)，则点\(F\)为\(AC\)的中点，
同理，点\(E\)为\(BC\)的中点，则可知\(EF\)为中位线，又\(\overrightarrow{OF}=-2\overrightarrow{OE}\)，
则\(E、O、F\)三点共线，故点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(EF\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。
此时连结\(BE\)，由点\(O\)是\(\triangle BCF\)的重心可知，延长\(BO\)交\(AC\)于点\(D\)，
则点\(D\)必是边\(CF\)的中点，即\(CD=DF\)，则\(AD=2DF=3CD\)，
过点\(O\)作\(AC\)的垂线段，设其高为\(h\)，
由同高不同底可得，\(\cfrac{S_{\Delta COD}}{S_{\Delta AOD}}=\cfrac{\cfrac{1}{2}\cdot CD\cdot h}{\cfrac{1}{2}\cdot AD\cdot h}=\cfrac{1}{3}\)
【解后反思】当题目告诉\(\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{BO}+3\overrightarrow{CO}\)，则有结论：
①\(E、O、F\)三点共线，点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(EF\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。
②延长\(BO\)交\(AC\)与点\(D\)，则点\(D\)是\(CF\)的中点。
③三等分点出现，常常和三角形的重心，三角形边的中点等联系起来，
分析：如图，点\(E\)，\(F\)分别是边\(AB\)，\(AC\)的二等分点和三等分点，作平行四边形\(AEPF\)，延长\(AP\)交\(BC\)于点\(D\)，
则由图可知，\(\triangle ABP\)的高\(PM\)与\(\triangle ABC\)的高\(CN\)的关系为\(CN=3PM\)，
故由同底不同高可知，\(\cfrac{S_{\Delta ABP}}{S_{\Delta ABC}}=\cfrac{\cfrac{1}{2}\cdot PM\cdot AB}{\cfrac{1}{2}\cdot CN\cdot AB}=\cfrac{1}{3}\)
引申：且可知\(3BD=2CD\)。
已知\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}\)，则\(3\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}\)，则\(\overrightarrow{AD}=\cfrac{2}{3}\overrightarrow{AE}\)，可知点\(D\)为\(\triangle ABC\)的重心；
分析：由\(4\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}\)，可得\(3\overrightarrow{AD}-3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\)，
即\(3\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}\)，即\(|CD|=3|BD|\)，又\(4c+a=8\)，
则\(a=8-4c=|BC|\)，\(|BD|=\cfrac{1}{4}|BC|=2-c\)，\(|CD|=6-2c\)，
又由于\(AD\)为\(\angle BAC\)的平分线，由角平分线定理可知，
\(\cfrac{BD}{CD}=\cfrac{AB}{AC}=\cfrac{1}{3}\)，故\(|AC|=3c\)，
在\(\triangle ABD\)与\(\triangle ACD\)中，分别对\(\angle BAD\)和\(\angle DAC\)用余弦定理可得，
\(\cfrac{3+c^2-(2-c)^2}{2\times \sqrt{3}c}=\cfrac{3+(3c)^2-(6-3c)^2}{2\times \sqrt{3}\times 3c}\)
解得\(c=\cfrac{5}{4}\)，\(b=\cfrac{15}{4}\)，\(a=3\)。
解后反思：本题目需要特别注意向量系数的拆分技巧；