多元函数第六:连续函数(5)康托尔(Cantor)闭集套定理

熟悉缠中说禅的股民,对闭区间套定理一定不会陌生。闭区间套定理是实数集上序列收敛的基本定理,它的发现者是天才数学家康托尔(Cantor)。康托尔是现代公理化集合论的奠基者。与许多的天才理论一样,他的集合理论在提出之初,饱受学术界诟病。因为他构造集合的很多方法,需要执行无限步,这很难被保守派的学者们接受。其实,世上从来不缺乏天才科学家的科学理论,可是科学的进展之所以曲折而缓慢,因为有太多太多像高斯这样的保守派的存在。他们为了私欲,打击新人,不愿意接收新的理论,导致科学的进程不进反退。这样的人,即使成就再高,也是无知而无耻的。

闭区间套定理,是定义在实数集上的。但是,它可以很容易推广到一般的Rn\mathbb{R}^nRn空间。因此,本文介绍的是Rn\mathbb{R}^nRn上的版本,叫闭集套定理,更为合适一些。

首先需要闭集的一个很重要的性质,这个性质说明了闭集的“闭”的根本意义。

定理CCC是Rn\mathbb{R}^nRn上的闭集,序列{xn}C\{x_n\}\subseteq C{xn​}⊆C。若limxn=x\lim x_n =xlimxn​=x,则有xCx\in Cx∈C。
证明xCx\notin Cx∈/​C则有xext(C)x\in ext(C)x∈ext(C)。也即存在ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0满足U(x,ϵ)C=U(x, \epsilon)\cap C=\emptysetU(x,ϵ)∩C=∅。这说明xmx>ϵ|x_m-x|>\epsilon∣xm​−x∣>ϵ对所有的正整数mmm成立。这与limxm=x\lim x_m=xlimxm​=x的条件相悖。

从上面的定理,我们知道,闭集的"闭"是指闭集对序列的极限运算封闭。

要介绍闭集套定理,还需要集合直径的概念。

定义 我们称Rn\mathbb{R}^nRn集合AAA是有界的,如果存在实数C&gt;0C&gt;0C>0满足x&lt;C|x|&lt;C∣x∣<C对所有的xAx\in Ax∈A成立。

定义 一个有界集合AAA的直径定义为
diamA=supx,yAxydiam A = \sup_{x,y\in A} |x-y|。diamA=x,y∈Asup​∣x−y∣。

定理(闭集套定理) 设集族{An}\{A_n\}{An​}满足A1A2A3...A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset...A1​⊃A2​⊃A3​⊃...且limndiamAm=0\lim_{n\rightarrow\infty} diam A_m=0limn→∞​diamAm​=0。那么集合A1A2...A_1\cap A_2 \cap...A1​∩A2​∩...包含唯一的点xxx。

证明 从集合AmA_mAm​任取点xmAmx_m\in A_mxm​∈Am​构成序列{xm}\{x_m\}{xm​}。那么对任意ϵ&gt;0\epsilon &gt; 0ϵ>0存在集合AMA_MAM​满足
diamAM&lt;ϵ diam A_M &lt; \epsilon。 diamAM​<ϵ。
由于当mMm \geq Mm≥M时有xmAmAMx_m\in A_m \subseteq A_Mxm​∈Am​⊆AM​,故对任意l,mMl, m \geq Ml,m≥M有
xlxm&lt;diamAM&lt;ϵ|x_l-x_m| &lt; diam A_M &lt; \epsilon。∣xl​−xm​∣<diamAM​<ϵ。
这说明序列{xm}\{x_m\}{xm​}是柯西序列。设limxm=xlim x_m = xlimxm​=x,我们要证明xAmx\in A_mx∈Am​对所有的mmm成立。考虑到序列{xm,xm+1,...}Am\{x_m, x_{m+1},...\}\subseteq A_m{xm​,xm+1​,...}⊆Am​,而该序列的极限也是xxx。由AmA_mAm​是闭集可知xAmx\in A_mx∈Am​。这说明xA1A2...x\in A_1\cap A_2\cap...x∈A1​∩A2​∩...。xxx的唯一性由limndiamAm=0\lim_{n\rightarrow\infty} diam A_m=0limn→∞​diamAm​=0易证。定理证毕。

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