「学习笔记」多项式Lagrange插值

Lagrange 插值

有 \(\texttt{Lagrange}\) 公式:

\[f(x)=\sum_{i=1}^n y_i \prod_{i\neq j} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

如果给定了点值直接逆做就行了

貌似和 \(IDFT\) 有类似的地方,但是也显然是不一样的(点值的位置是不同的,\(FFT\) 利用了单位根的性质)

好像可以快速插值然后单点求值

时间复杂度 \(O(n^2)\)

前后缀优化 Lagrange 插值

如果点值连续,可以预处理要求的 \(f(k)\) 的 \(\prod k-i\)

那么求一个 \(\prod \frac{k-x_i}{x_i-x_j}\) 就可以阶乘逆元做了

这个是最常见的做法,貌似下面的例题均用此做法来进行了时间复杂度的优化

重心 Lagrange 插值

推一下式子考虑增量即可

应用是自然数幂前缀和,因为伯努利数原理,那么用第二个插值方法就行了

例题

「JLOI2016」 成绩比较

先钦定哪些人比他高,最后给答案乘 \(\binom {n-1}k\)

考虑名次的限制,这里会计漏或者重复,那么容斥,也就是

\[\sum_{i=0}^{n-k} (-1)^{n-k-i}\binom {n-k} i \prod_{k=1}^m \binom {i}{R_i} \]

最后是分数的部分,列式展开发现需要对自然数求幂和,插值即可

\[\prod_{i=1}^m\sum_{x=1}^{U_i} (U-x)^{R_i-1}x^{n-R_i} \]

「集训队互测2012」calc

朴素的 \(dp\) 是 \(trivial\) 的:$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\times j+f_{i-1,j} $

假设 \(f_{i,j}\) 为 \(g(i)\) 次多项式,正向可以证明 \(g(i)=2i\)

所以求出来一些点值之后插 \(k\) 处的就行了

也可以使用生成函数科技:

考虑答案显然为 \(\prod_{i=1}^k (1+ix)\)

按照套路,乘法取 \(\ln\) 转加法

得到的式子为:

\[exp(\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}\sum i^k}{i!}x^i) \]

换换顺序得到 \(Tyler\) 展开的式子,同时还可以等比数列求和,那么需要几次 \(exp\) 就好了

「Codeforces 995F」Cowmpany Cowmpensation

树上的上面一题,值得指出的是,这个多项式是 \(n\) 次的

貌似没有生成函数做法

「NOI2019」机器人

本题并不属于简单题

考虑一个非常 \(trivial\) 的 \(dp\):设 \(f_{i,j,k}\) 表示 \([i,j]\) 的最大值为 \(k\) 的时候的答案,那么答案为 \(f_{1,n,mx}\)

转移考虑找区间里面满足 \(|(x-i)-(x-j)|\le 2\) 的 \(x\)

其实不难观察得到 \(x\in \{mid,mid+1,mid-1\}\)(分区间长度讨论即可)

所以发现这个 \(f_{l,r}\) 的状态大概在 \(kn\log n\) 左右,跑一个记忆化搜索发现是 \(2000\) 到 \(3000\)

因为是插值找的这题目,所以考虑 \(f_{l,r,k}\) 会不会是关于 \(k\) 的多项式,按套路,可能是 \(r-l+2\) 次的

考虑对于 \(l=r\) ,不为 \(0\) 的 \(k\) 是常数,那么按照原来 \(dp\) 式子的转移做两边乘法,所以次数增加

(以上证明显然并不严谨,具体证明留坑待填)

所以考虑按照值域分段来进行 \(dp\) 的转移,对于当前值域 \([v[i],v[i+1]-1]\) 可以仅取区间长度个点值来转移,然后就可以插出来 \(dp_{l,r,v[i+1]-1}\)

以上思考是 \(trivial\) 的,具体实现的时候,\(dp\) 暴力进行即可,使用记忆化搜索,每次清空 \(n+2\) 位

以上做法是相对好写(好猜)但是速度非常之慢,本地跑极限数据要 \(6s\) 左右(但是交上去卡了好久过了)

貌似 \(\texttt{mayaohua2003}\) 的游记里面提到了一个下降幂的做法,因为我完全不熟悉下降幂的科技,所以等学习了之后再补

不可否认,这目前是(估计也将会是)这篇博客里面最高明的题目

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