数域\(K\)上的\(s \times n\)矩阵\(A\)

\[\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & \cdots & a_{sn} \end{pmatrix} \]

设\(\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s\)为行向量组，\(\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n\)为列向量组。
记\(rank\{\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n\}\)为\(A\)的列秩，\(rank\{\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s\}\)为\(A\)的行秩。
\(<\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n>\)为\(A\)的列空间，\(<\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s>\)为\(A\)的行空间。
\(rank\{\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n\} = \dim <\alpha_1,\alpha_2, \dots ,\alpha_n>\)，\(rank\{\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s\} = \dim <\gamma_1,\gamma_2, \dots ,\gamma_s>\)
问题：\(A\)的行秩与列秩之间的关系。

定理 1：数域\(K\)上\(s \times n\)的阶梯形矩阵\(J\)，设\(J\)的非零行的个数为\(r\)，则行秩 = 列秩 = \(r\)。且\(J\)主元所在的列构成\(J\)的列向量组的一个极大线性无关组。
证明：等时间充裕了再补充

定理 2：矩阵的初等行变换，不改变矩阵的行秩
证明：三种初等行变换分情况讨论，易证

定理 3：矩阵的初等行变换，不改变矩阵的列向量组线性相关性。从而，不改变矩阵的列秩。
（同时，若\(B\)中的\(\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots ,\beta_{j_r}\)是列向量组的极大线性无关组，那么\(A\)中的\(\alpha_{j_1},\alpha_{j_2},\dots ,\alpha_{j_r}\)也是\(A\)的列向量组的极大线性无关组）

定理 4：任一矩阵的行秩 = 列秩
证明：将\(A\)经初等行变换为阶梯形矩阵\(J\)，从而\(A\)的行秩 = \(J\)的行秩 = \(J\)的列秩 = \(A\)的列秩

定义 1：矩阵\(A\)的行秩与列秩称为矩阵\(A\)的秩
推论 1：设\(A\)经初等行变换为\(J\)，则\(rank(A)\) = \(J\)的非零行的个数，又\(J\)的主元所在列构成\(A\)的一个极大线性无关组。
推论 2：\(A\)的转置\(A'\)，故\(rank(A) = rank(A')\)
推论 3：若\(A\)经初等行变换得到\(B\)，则\(rank(A) = rank(B)\)。即矩阵的初等行变换，不改变行秩。

定理 5：\(s \times n\)的非零矩阵\(A\)的秩等于\(A\)的不为\(0\)子式的最高阶数。