描述有耗散系统的密度算符的方程为 (Scully. Quantum Optics \(\S5.3\))
\[ \dot{p}=-\frac{i}{\hbar}[H, p]-\frac{1}{2}\{\Gamma, p\} \quad \Gamma_{i j}=\gamma_{i j} \delta_{i j} \]
二能级原子在偶极近似下，把上面方程展开有
\[ \dot{\rho}_{aa}=-\gamma_{a} \rho_{aa}+\frac{i}{\hbar}\left[\wp_{ab} E \rho_{b a}-\text{c.c.}\right] \\ \dot{\rho}_{bb}=-\gamma_{b} \rho_{b b}-\frac{i}{\hbar}\left[\wp_{a b} E \rho_{b a}-\text{c.c.}\right]\\ \dot{\rho}_{ab}=-(i\omega+\gamma_{ab})\rho_{ab}-\frac{i}{\hbar}\wp_{ab}E(\rho_{aa}-\rho_{bb}) \]
其中\(\omega\)为原子跃迁频率（a为上能级，b为下能级），\(\gamma_{ab}=(\gamma_a+\gamma_b)/2\)，而\(\wp_{ab}\)是电偶极矩(其实是矢量，取为实的)，而\(E(t)=E_0\cos(\nu t)\)(也是矢量)。在旋转波近似下，就等价于和\(\wp_{ab}\)相乘的\(E(t)\)都改为\(E_0\exp(-i\nu t)/2\)，和\(\wp_{ba}\)相乘的\(E(t)\)改为\(E_0\exp(i\nu t)/2\).

原子之间的碰撞，可以看作是原子经受着随机的能级Stark位移，在\(E_0=0\)时碰撞仍然存在，并以\(\delta\omega(t)\)代表该随机Stark位移。假设\(\delta\omega(t)\)时一个高斯随机过程，零均值\(\langle\delta\omega(t)\rangle_\text{em}=0\) (下标em代表系综平均，后面略去em)，且满足\(\langle\delta\omega(t)\delta\omega(t')\rangle=2\gamma_\text{ph}\delta(t-t')\). 由此对上面的方程组在\(E_0=0\)时进行改写修正，因为对角元的时间导数不含\(\omega\)，因此只有第三个方程需要改写。对第三个方程形式上积分，得到
\[ {\rho}_{ab}(t)=\exp \left[-\left(i \omega+\gamma_{a b}\right) t-i \int_{0}^{t} d t^{\prime} \delta w\left(t^{\prime}\right)\right]\left.\rho_{ab}(0)\right. \]
再两边取系综平均，发现需要计算系综平均的只有
\[ \left\langle\exp \left(-i \int_{0}^{t} \delta\omega(t') d t^{\prime}\right)\right\rangle= \sum_i\frac{(-i)^n}{n!}\left\langle\left(\int_{0}^{t} \delta \omega\left(t^{\prime}\right) d t'\right)^{n}\right\rangle \]
上式右端的\(n\)次方的期望可以写为(交换系综平均和时间积分)
\[ \left\langle\left(\int_{0}^{t} \delta \omega\left(t^{\prime}\right) d t'\right)^{n}\right\rangle=\int_0^tdt_1\cdots\int_0^tdt_n\langle\delta\omega(t_1)\cdots\delta\omega(t_n)\rangle \]
其中的\(\langle\delta\omega(t_1)\cdots\delta\omega(t_n)\rangle\)，可以按照零均值的多变量高斯分布的矩定理[Ref.2]，在\(n\)为偶数时展开写为(奇数时该式等于0)
\[ \langle\delta\omega(t_1)\cdots\delta\omega(t_n)\rangle=\langle\delta\omega(t_1)\delta\omega(t_2)\rangle\cdots\langle\delta\omega(t_{n-1})\delta\omega(t_{n})\rangle+\cdots \]
上式右端第一项为两两配对的均值的乘积，这样的乘积都有贡献，因此右端要遍历所有这样的两两配对的所有可能性，一共有\(n!/[2^{n/2}(n/2)!]\)个这样的项，每一项的贡献都相等。

于是经过整理得到
\[ \left\langle\operatorname{exp}\left(-i \int_{0}^{t} \delta \omega(t') d t^{\prime}\right) \right\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n !} \gamma_\text{ph}^{n} t^{n}=e^{-\gamma_\text{ph} t} \]
于是在\(E_0=0\)时候有
\[ \rho_{ab}(t)=\exp[-(i\omega+\gamma_{ab}+\gamma_\text{ph})t] \]
也就是\(\dot{\rho}_{ab}(t)=-(i\omega+\gamma_{ab}+\gamma_\text{ph})\rho_{ab}(t)\)，于是在\(E_0\neq0\)的时候为（已采用旋转波近似，并取电偶极矩为实数）
\[ \dot{\rho}_{ab}=-(i\omega+\gamma_{ab}+\gamma_\text{ph})\rho_{ab}-\frac{i}{2\hbar}\wp E_0\text{e}^{-i\nu t}(\rho_{aa}-\rho_{bb}) \]
在旋转波近似下，另外两个式子为
\[ \dot{\rho}_{aa}=-\gamma_a\rho_{aa}+\frac{iE_0\wp}{2\hbar}\left(\text{e}^{-i\nu t}\rho_{ba}-\text{e}^{i\nu t}\rho_{ab}\right)\\ \dot{\rho}_{bb}=-\gamma_b\rho_{bb}-\frac{iE_0\wp}{2\hbar}\left(\text{e}^{-i\nu t}\rho_{ba}-\text{e}^{i\nu t}\rho_{ab}\right) \]
这就是考虑原子碰撞后的密度算符运动方程。

在激光理论中，弛豫作用不使用\(\gamma_i\)来表达，而使用向平衡态(泵浦作用下的平衡，而不是热平衡)的弛豫速率来表达，上面的方程可以进一步简化。

在激光理论中，当\(E_0=0\)时，认为粒子数之差\((\rho_{bb}-\rho_{aa})\)按照指数规律弛豫到平衡值\((\rho_{bb}-\rho_{aa})_0\). 原本，使用上面的微分方程可得
\[ (\dot{\rho}_{bb}-\dot{\rho}_{aa})=-\gamma_b\rho_{bb}+\gamma_a\rho_{aa}+\frac{iE_0\wp}{\hbar}\left(\text{e}^{i\nu t}\rho_{ab}-\text{e}^{i \nu t}\rho_{ba}\right) \]
现在丢弃方程右边前两项，而以向平衡值\((\rho_{bb}-\rho_{aa})_0\)的弛豫代替，或者写为
\[ (\dot{\rho}_{bb}-\dot{\rho}_{aa})=-\frac{(\rho_{bb}-\rho_{aa})-(\rho_{bb}-\rho_{aa})_0}{\tau}+\frac{iE_0\wp}{\hbar}\left(\text{e}^{i\nu t}\rho_{ab}-\text{e}^{i \nu t}\rho_{ba}\right) \]
如果对于密度算符的非对角元使用代换\(\sigma_{ab}=\text{e}^{i\nu t}\sigma_{ab}\)代换(即慢变振幅变换)，则运动方程可以改写为
\[ (\dot{\rho}_{bb}-\dot{\rho}_{aa})=-\frac{(\rho_{bb}-\rho_{aa})-(\rho_{bb}-\rho_{aa})_0}{\tau}+\frac{iE_0\wp}{\hbar}\left(\sigma_{ab}-\sigma_{ab}^*\right)\\ \dot{\sigma}_{ab}=i(\nu-\omega)\sigma_{ab}-\gamma_\text{ph}\sigma_{ab}+\frac{iE_0}{2\hbar}\wp(\rho_{bb}-\rho_{aa}) \]
进行代换\(a\leftrightarrow2, b\leftrightarrow1,\wp\leftrightarrow\mu,\gamma_\text{ph}\leftrightarrow1/T_2\)则上式就是亚里夫《量子电子学》\((8.1-11\sim12)\) 式。

Reference.

Scully. Quantum Optics.

K. Triantafyllopoulos. On the Central Moments of the Multidimensional Gaussian, The Mathematical Scientist. 28 (2003).

亚里夫. 量子电子学 (1983).