通俗易懂的向量膜法

向量，事有方向而起点可以任意平移的线段。

向量的坐标表示：令起点为\((x1,y1)\)，终点为\((x2,y2)\)，则向量 \(=(x2-x1,y2-y1)\)。这样是有原因的，但是今天不说。

两点之间构成的向量记为 \(\overrightarrow{AB}\)，向量 \(p\) 长度记为\(|p|\)。

先说公式：

对于\(\triangle ABC\)，我们定义向量\(p_1=\overrightarrow{AB}\)，坐标\((x1,y1)\)，\(p_2=\overrightarrow{AC}\)，坐标\((x2,y2)\)

\(S_{\triangle ABC}=\dfrac{|x1y2-x2y1|}{2}\)

证明：（前置知识：余弦定理，三角函数性质）

我们拿这个 \(p_1,p_2\) 来说。

定义点积为 \(p_1·p_2\)，几何意义：\(|p_1|\times|p_2|\times\cos<p_1,p_2>\)，是一个数。

定理：\(p_1·p_2=x1x2+y1y2\)。

我们将他们的起点平移到原点来研究。

根据余弦定理有：

\(|p_1|^2+|p_2|^2-2|p_1|\times|p_2|\times \cos<p_1,p_2>\ \ =(\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2})^2\)（第三边）

\(x1^2+y1^2+x2^2+y2^2-(x1-x2)^2-(y1-y2)^2=2|p_1|\times|p_2|\times\cos<p_1,p_2>\)

\(x1^2+y1^2+x2^2+y2^2-(x1^2+x2^2-2x1x2)-(y1^2+y2^2-2y1y2)=2|p_1|\times|p_2|\times\cos<p_1,p_2>\)

化简得

\(2x1x2+2y1y2=2p_1·p_2\)

证毕。

定义叉积为 \(p_1\times p_2\)。几何意义：\(|p_1|\times |p_2|\times \sin<p_1,p_2>\)，他的绝对值也就是\(2S_{\triangle ABC}\)

证：\(p_1\times p_2=x1y2-x2y1\)

\(p_1\times p_2=\sqrt{|p_1|^2\times|p_2|^2\times(1-\cos^2<p_1,p_2>)}\)（可能有负号在前面，但是既然）

\(=\sqrt{|p_1|^2\times|p_2|^2-(|p_1|\times|p_2|\times\cos<p_1,p_2>)^2}\)

\(=\sqrt{(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)-(x1x2+y1y2)^2}\)

\(=\sqrt{x1^2x2^2+x1^2y2^2+y1^2x2^2+y1^2y2^2-x1^2x2^2-y1^2y2^2-2x1x2y1y2}\)

\(=\sqrt{y1^2x2^2+y2^2x1^2-2x1y2x2y2}\)

\(=\sqrt{(x1y2-x2y1)^2}\)

\(=|x1y2-x2y1|=2S_{\triangle ABC}\)