点积、叉积、三角形面积

通俗易懂的向量膜法

向量,事有方向而起点可以任意平移的线段。

向量的坐标表示:令起点为\((x1,y1)\),终点为\((x2,y2)\),则向量 \(=(x2-x1,y2-y1)\)。这样是有原因的,但是今天不说。

两点之间构成的向量记为 \(\overrightarrow{AB}\),向量 \(p\) 长度记为\(|p|\)。

先说公式:

对于\(\triangle ABC\),我们定义向量\(p_1=\overrightarrow{AB}\),坐标\((x1,y1)\),\(p_2=\overrightarrow{AC}\),坐标\((x2,y2)\)

\(S_{\triangle ABC}=\dfrac{|x1y2-x2y1|}{2}\)

证明:(前置知识:余弦定理,三角函数性质)

我们拿这个 \(p_1,p_2\) 来说。

定义点积为 \(p_1·p_2\),几何意义:\(|p_1|\times|p_2|\times\cos<p_1,p_2>\),是一个数。

定理:\(p_1·p_2=x1x2+y1y2\)。

我们将他们的起点平移到原点来研究。

根据余弦定理有:

\(|p_1|^2+|p_2|^2-2|p_1|\times|p_2|\times \cos<p_1,p_2>\ \ =(\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2})^2\)(第三边)

\(x1^2+y1^2+x2^2+y2^2-(x1-x2)^2-(y1-y2)^2=2|p_1|\times|p_2|\times\cos<p_1,p_2>\)

\(x1^2+y1^2+x2^2+y2^2-(x1^2+x2^2-2x1x2)-(y1^2+y2^2-2y1y2)=2|p_1|\times|p_2|\times\cos<p_1,p_2>\)

化简得

\(2x1x2+2y1y2=2p_1·p_2\)

证毕。

定义叉积为 \(p_1\times p_2\)。几何意义:\(|p_1|\times |p_2|\times \sin<p_1,p_2>\),他的绝对值也就是\(2S_{\triangle ABC}\)

证:\(p_1\times p_2=x1y2-x2y1\)

\(p_1\times p_2=\sqrt{|p_1|^2\times|p_2|^2\times(1-\cos^2<p_1,p_2>)}\)(可能有负号在前面,但是既然)

\(=\sqrt{|p_1|^2\times|p_2|^2-(|p_1|\times|p_2|\times\cos<p_1,p_2>)^2}\)

\(=\sqrt{(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)-(x1x2+y1y2)^2}\)

\(=\sqrt{x1^2x2^2+x1^2y2^2+y1^2x2^2+y1^2y2^2-x1^2x2^2-y1^2y2^2-2x1x2y1y2}\)

\(=\sqrt{y1^2x2^2+y2^2x1^2-2x1y2x2y2}\)

\(=\sqrt{(x1y2-x2y1)^2}\)

\(=|x1y2-x2y1|=2S_{\triangle ABC}\)

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