我们定义序列 \(a\) 的普通型生成函数 \((\rm OGF)\) 为形式幂级数：
\[F(x) = \sum\limits_{n \ge 0} a_n x ^ n \]之所以要构造这样一个形式幂级数，是因为当 \(|x| < 1\) 的时候可以收敛成一个封闭形式便于运算。
下面是几个常见的 \(\rm OGF\) 极其封闭形式：
- \(F_1(x) = \sum\limits_{n \ge 0} x ^ n = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \cdots = \dfrac{1}{1 - x}\)
可以发现这是一个公比为 \(x\) 的等比数列，对于 \(G(x) = \sum\limits_{i = 0} ^ n x_i = 1 + x + x ^ 2 + \cdots + x ^ n\)。
根据等比数列求和公式有 \(G(x) = \dfrac{1 - x ^ {n + 1}}{1 - x}\)，因此可知 \(F_1(x) = \dfrac{1 - x ^ \infty}{1 - x}\)。
根据上面所提到的，\(|x| < 1\) 时 \(x ^ \infty\) 收敛于 \(1\)，故 \(F_1(x) = \dfrac{1}{1 - x}\)
于是对于一般的公比为 \(ax\) 的等比数列构成的 \(\rm OGF\)，有：
\(F_2(x) = \sum\limits_{n \ge 0} a ^ n x ^ n = \dfrac{1}{1 - ax}\)
于是得到第二种常用的 \(\rm OGF\)：
-
\(F_2(x) = \sum\limits_{n \ge 0} ba ^ n x ^ n = b + bax + ba ^ 2x ^ 2 + \cdots = \dfrac{b}{1 - ax}\)
-
\(F_3(x) = \sum\limits_{n \ge 0} n x ^ n = 1 + 2x + 3x + \cdots = \dfrac{1}{(1 - x) ^ 2}\)
从形式上看可以发现 \(F_3(x) = F_1 ^ 2(x)\)，事实上有：
\[F_3(x) = \sum\limits_{n \ge 0} \sum\limits_{i = 0} ^ n x ^ i \times x ^ {n - i} = \sum\limits_{n \ge 0} n x ^ n \]- \(F_{4_m}(x) = \sum\limits_{n \ge 0} \binom{m}{n} x ^ n = (x + 1) ^ m\)
运用二项式定理不难证明。
- \(F_{5_m}(x) = \sum\limits_{n \ge 0} \binom{m + n}{n} x ^ n = \dfrac{1}{(1 - x) ^ {m + 1}}\)
注意到
\[\sum\limits_{i = m - 1} ^ {n + m - 1} \binom{m - 1 + (i - m + 1)}{i - m + 1} = \binom{n + m}{n} \]即 \(F_{5_m}(x)\) 第 \(x ^ n\) 的系数为 \(F_{5_{m - 1}}\) 第 \(x_0 \sim x ^ n\) 系数之和，由 \(F_3(x)\) 的经验不难发现：
\[F_{5_m}(x) = F_{5_{m - 1}}(x) \times F_1(x) \]特别的，\(m = 0\) 时 \(F_{5_0}(x) = F_1(x)\)，带入不难得证。
为了下面内容的推进，我们引入牛顿二项式定理：
实质上 \(\dbinom{n}{m} = \dfrac{n ^ {\underline m}}{m!}\) 可以看作是一种数值上的运算，那么我们不妨扩充组合数的定义域至复数域，有：
\[\dbinom{n}{m} = \dfrac{n ^ {\underline m}}{m!}(n \in \mathbf{C}, m \in \mathbf{N}) \] \[(1 + x) ^ n = \sum\limits_{m \ge 0} \dbinom{n}{m}x ^ m(n \in \mathbf{C}) \]同时，借助其我们也能证明第五种常见 \(\rm OGF\)：
\[\begin{aligned} F_{5_m}(x) &= (1 - x) ^ {-(m + 1)} \\ &= \sum\limits_{n \ge 0} \binom{-(m + 1)}{n} (-x) ^ n \\ &= \sum\limits_{n \ge 0} (-1) ^ n \frac{-(m + 1) \times -(m + 2) \cdots \times -(m + n)}{n!} x ^ n \\ &= \sum\limits_{n \ge 0}\frac{(m + n)!}{n!m!} x ^ n \\ &= \sum\limits_{n \ge 0} \dbinom{m + n}{n} x ^ n \end{aligned} \]