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第 1 讲 元素和极限

文章目录

• 第 1 讲 元素和极限
• • 1.1 实数的定义
  • 1.2 实数的元素个数
  • 1.3 自然数个数少于实数个数
  • 1.4 无穷小的比较
  • 1.5 级数的收敛
  • 1.6 极限的定义
  • 1.7 极限的四则运算
  • 1.8 极限的复合
  • 1.9 连续性

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1.1 实数的定义

如何进行实数定义，要引入一个概念：戴德金分划

首先，什么是分划呢？

戴德金分划：

实数的定义：

①② 为有理分划，③ 为无理分划

我们希望实数具有的性质是：

• （1）稠密性（不可有其他分法）
• （2）有序性（可以比大小）

引理一：单调有界序列存在极限

1.2 实数的元素个数

势：集合元素的个数

自然数个数和整数个数等势

不能通过包含关系来判断是否等势

希尔伯特旅馆

【证明】整数个数与有理数个数相同

寻找一一对应的关系： q p \dfrac{q}{p} pq​

使用到公式：|p| + |q| = k，k = 1，2，3，4…

可列 / 可数

1.3 自然数个数少于实数个数

【证明】自然数个数少于实数个数

反证法：

（1）先将 R 与 （0, 1）实数对应

第一种对应关系方案：

第二种对应关系方案：

（2）再将 N 与 （0, 1）实数对应

!> 存在逻辑错误，找出即说明反命题错误

可数与不可数

当然也存在下面情况，或者更多：

举例：

1.4 无穷小的比较

【证明】求证： lim ⁡ n → ∞ n a 2 a 3 n = 0 {\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{n^{a_2}}{a^n_3} = 0} n→∞lim​a3n​na2​​=0

所以： lim ⁡ n → ∞ n a 2 a 3 n = 0 {\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{n^{a_2}}{a^n_3} = 0} n→∞lim​a3n​na2​​=0 得证。

【证明】求证： a 3 n < n ! ( a 3 > 1 ) {a^n_3}<n!\quad(a_3>1) a3n​<n!(a3​>1)

引入概念：Stirling 近似

n ! ≈ 2 π n ( n e ) n n!\approx\sqrt{2{\pi}n}(\dfrac{n}{e})^n n!≈2πn ​(en​)n

!> 注：当 n ≈ 10 n\approx10 n≈10 时，误差小于 1 1 0 6 \dfrac{1}{10^6} 1061​

1.5 级数的收敛

复习级数的收敛：

【证明】当 a > 1 时， 1 n a \dfrac{1}{n^a} na1​ 收敛。

级数收敛的分界线

1.6 极限的定义

序列极限 / 函数极限

想要任意近，只要足够近！

1.7 极限的四则运算

【证明】 lim ⁡ x → 3 x 2 = 9 {\lim \limits_{x \to 3} x^2 = 9} x→3lim​x2=9

1.8 极限的复合

1.9 连续性

【证明】