已知 \(M=\dfrac{{\rm e}^{2020}+1}{{\rm e}^{2021}+1} , N=\dfrac{{\rm e}^{2021}+1}{{\rm e}^{2022}+1}\) ,则 \(M,N\) 的大小关系为 \(\underline{\qquad\qquad}\).
解析:
法一:令 \(f(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-1}+1}{{\rm e}^{x}+1}\) ,则 \(f'(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-1}-{\rm e}^x}{({\rm e}^{x}+1)^2}<0\) ,则 \(f(x)\) 在 \({\rm R}\) 上单调递减,则 \(f(2021)>f(2022)\) ,则 \(M>N\) .
法二:因为
\[M-N=\dfrac{{\rm e}^{2020}+1}{{\rm e}^{2021}+1}-\dfrac{{\rm e}^{2021}+1}{{\rm e}^{2022}+1}=\dfrac{{\rm e}^{2020}({\rm e}-1)^2}{({\rm e}^{2021}+1)({\rm e}^{2022}+1)}>0 \]所以 \(M>N\) .