比较大小

已知 \(M=\dfrac{{\rm e}^{2020}+1}{{\rm e}^{2021}+1} , N=\dfrac{{\rm e}^{2021}+1}{{\rm e}^{2022}+1}\) ,则 \(M,N\) 的大小关系为 \(\underline{\qquad\qquad}\).

解析:

法一:令 \(f(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-1}+1}{{\rm e}^{x}+1}\) ,则 \(f'(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-1}-{\rm e}^x}{({\rm e}^{x}+1)^2}<0\) ,则 \(f(x)\) 在 \({\rm R}\) 上单调递减,则 \(f(2021)>f(2022)\) ,则 \(M>N\) .

法二:因为

\[M-N=\dfrac{{\rm e}^{2020}+1}{{\rm e}^{2021}+1}-\dfrac{{\rm e}^{2021}+1}{{\rm e}^{2022}+1}=\dfrac{{\rm e}^{2020}({\rm e}-1)^2}{({\rm e}^{2021}+1)({\rm e}^{2022}+1)}>0 \]

所以 \(M>N\) .

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