题目

\(a+b+c=3\)，\(a,b,c\ge0\)，求证：\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge a^2+b^2+c^2\)。

证明

引理 1：\(x,y\ge0\) 时，\(\dfrac{1}{x^2}-x^2+\dfrac{1}{y^2}-y^2\ge2\left(\dfrac{1}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}-\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2\right)\)。

证明：只需证明 \(T=\dfrac{1}{x^2}-x^2+\dfrac{1}{y^2}-y^2-2\left(\dfrac{1}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}-\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2\right)\ge0\)。

\(T=\dfrac{1}{x^2}-x^2+\dfrac{1}{y^2}-y^2-2\left(\dfrac{1}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}-\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2\right)\)

\(=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}-\dfrac{\left(x-y\right)^2}{2}\)

令 \(A=(x+y)^2\)，\(B=(x-y)^2\)，则 \(x^2+y^2=\dfrac{A+B}{2}\)，\(xy=\dfrac{A-B}{4}\)。

则 \(T=\dfrac{\dfrac{A+B}{2}}{\left(\dfrac{A-B}{4}\right)^2}-\dfrac{8}{A}-\dfrac{B}{2}\)

\(=\dfrac{8\left(A+B\right)}{\left(A-B\right)^2}-\dfrac{16+AB}{2A}\)

\(=\dfrac{16A^2+16AB-16A^2+32AB-16B^2+A^3B-A^2B^2+AB^3}{2A\left(A-B\right)^2}\)

\(=\dfrac{48AB-16B^2+A^3B-2A^2B^2+AB^3}{2A\left(A-B\right)^2}\)

\(=\dfrac{16B(3A-B)+AB(A-B)^2}{2A\left(A-B\right)^2}\ge0\)

当且仅当 \(B=0\)，即 \(x=y\) 时等号成立。

引理 1 得证。

引理 2：\(a+b+c=3\)，\(a,b,c\ge0\) 时，\(\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-a^2-b^2-c^2\right)_{\min}=0\) 在 \(a=b=c=1\) 时取到。

反证：假设 \(\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-a^2-b^2-c^2\right)_{\min}\) 在 \(a,b,c\) 不全等于 \(1\) 时取到，必有两者不等，不妨设 \(a\ne b\)。

那么将 \(a,b\) 的值修改为 \(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2}\) 后，\(\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-a^2-b^2-c^2\right)\) 的值变为 \(\left(\dfrac{1}{\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2}+\dfrac{1}{c^2}-\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-c^2\right)\)。

由引理 1 可知，\(\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-a^2-b^2-c^2\right)\) 变得更小了，这与假设矛盾。

引理 2 得证。

回到原题：由引理 2 可知，\(a+b+c=3\)，\(a,b,c\ge0\) 时，\(\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-a^2-b^2-c^2\right)_{\min}=0\) 在 \(a=b=c=1\) 时取到，故 \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}- a^2+b^2+c^2\ge0\)，即 \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge a^2+b^2+c^2\)。

原命题得证。