极限-题源1
证明对应： ∀ k ∈ N \forall k \in N ∀k∈N下面极限为0。
lim x → + ∞ x k e x \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^k}{e^x} x→+∞limexxk
证明1：
当 k ≤ 0 k\le 0 k≤0 ， x k ∈ ( 0 , 1 ] x^k \in (0,1] xk∈(0,1]，显然成立。
当 k > 0 k>0 k>0，注意到 e x > x 2 , ( x ≥ 0 ) e^x > x^2,(x\ge 0) ex>x2,(x≥0)
因此： e x k > ( x k ) 2 → e x > ( ( x k ) 2 ) k e^{\small\dfrac{x}{k}}>(\dfrac{x}{k})^2\rightarrow e^x > ((\dfrac{x}{k})^2)^k ekx>(kx)2→ex>((kx)2)k
： 0 < x k e x < k k x k x 2 k = k 2 x k → 0 ( x → + ∞ ) 0 < \dfrac{x^k}{e^x}< \dfrac{k^kx^k}{x^{2k}}=\dfrac{k^2}{x^k}\rightarrow 0 (x\rightarrow +\infty) 0<exxk<x2kkkxk=xkk2→0(x→+∞)
由夹逼准则，证毕。
证法2：
来自知乎予一人大佬。
同样是放缩。
这里放缩成 k + 1 k+1 k+1次是为了分母多个 x x x 。