三角函数值域的妙用

前言

我们都知道,\(\sin x\in [-1,1]\),\(\cos x\in [-1,1]\),但是很少能将其和导数主动融合在一起。

案例分析

比如,函数\(f(x)=\sin x+x\),在判断函数的单调性时,许多学生会想到用两个函数的图像叠合的方法求解,其实这个思路是错误的,\(y=x\)是单调递增的,但是\(y=\sin x\)是有增有减的,故使用这个方法是说不清楚的;

换个思路,\(f'(x)=1+\cos x\),那么由于\(\cos x\in [-1,1]\),则\(1+\cos x\in [0,2]\),

故能很容易得到,\(f'(x)\geqslant 0\)恒成立,故函数\(f(x)=\sin x+x\)在\((-\infty,+\infty)\)上是单调递增的;

常见函数

\(f(x)=x\pm \sin x\),则\(f'(x)\geqslant 0\);故函数\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上是单调递增的;

\(f(x)=x\pm \cos x\),则\(f'(x)\geqslant 0\);故函数\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上是单调递增的;

\(f(x)=3x\pm 2\sin x\),则\(f'(x)\geqslant 0\);故函数\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上是单调递增的;

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