\(\%\%\%tarjan\)

有向图

强联通分量

DAG 的一些结论

• 图中唯一出度为0的点，将会受到所有点的%%
• 给所有入度为0的点传消息，那么消息会传到所有点（这也是传给初始点最少的方案）
• 使DAG上任意一点都被至少一个环覆盖，至少要添边 \(max\){入度为\(0\)的点的个数，出度为\(0\)的点的个数}

P.S.:

• 别忘了DAG中的一个点对应原图中的一个强联通分量(答案要输出强联通分量中的点)。

无向图

割点和点双

• 因为点双联通分量的求法与众不同(别的都是自己求自己，而点双是父亲求儿子)，这就导致了 \(father\) 割掉 \(child\) 时还有别的 \(child\) 在 \(stack\) 内，

  所以只能出栈到 \(child\)( \(child\) 未出栈)，然后手动加上 \(now\) 和 \(child\) (即 \(v\)).

• \(root\) 与他的每一个 \(child\) (确切的说是与 \(child\) 在 \(stack\) 内的结点) 构成点双。

  证明：\(v\) 的 \(child\) 中 \(low[child]<=dfn[v]\) 的已经出栈了，剩余的 \(v's \space childs\) ,必然有 \(low[v \space childs]==dfn[root]\)

  因为\(low[v's \space childs]\)
  既不可能 \(<dfn[root]\) ,也不可能指向其他子树。

  故必有后向边指向\(root\),即证。

• 一个点可能同时属于多个点双（割点），若用染色法标记点双，请用数组套 \(vector\) 或 数组套 \(set\) .

求割点的Code：

int dfn[N],low[N],times=0;
// as for not root
// low[v]>=dfn[now]  ---------> now is a required node
// low[v]<dfn[now] -----------> it isn't

// root 
// have more than one child 

// why divide it into root and not root ?
// if low[v]>=dfn[now] then cut now  -----> cause ---> v can not find a way to now's father
// but if now is a root ( now doesn't have a father ) ----> so we only need to think about now's kids
// and now's kids (now not root) only all of the low[v] < dfn[now] ---> now is not a cut
// and at that time , each v can find a way to another v (already cut now) , 
// so only think about child and father , ( not root );
  
set<int> cut;
void tarjan(int now,const int &fa)
{
	dfn[now]=low[now]=++times;
	rint i,v,child=0;
	for(i=one[now];i>0;i=Next[i]) {
		v=ver[i];
		if(!dfn[v]) {
			child++;
			tarjan(v,now);
			if((fa==0&&child>1)||(fa!=0&&low[v]>=dfn[now])) 
				cut.insert(now);
			low[now]=min(low[now],low[v]);
		}
		else //if(v!=fa) // 割点并不需要这句，但是指向father的low确实没有意义。（指向father的祖先才有意义）。 但桥要。 
			low[now]=min(low[now],dfn[v]);
	}
	return;  
}

（也可以开一个\(bool\) 数组来标记）

求点双的代码：

int dfn[N],low[N],times=0;
set<int> col[N];
int all=0;
int S[N],top=0;
int siz[N];
void tarjan(int now,const int &fa)
{
  dfn[now]=low[now]=++times;
  top++,S[top]=now;
  rint i,v,child=0;
  for(i=one[now];i>0;i=Next[i]) {
  	v=ver[i];
  	if(!dfn[v]) {
  		child++;
  		tarjan(v,now);
  		if((fa==-1)||(fa!=-1&&low[v]>=dfn[now])) {
  			all++;
  			while(S[top]!=v) {
  				siz[all]++;
  				col[S[top]].insert(all);
  				S[top]=0; top--;
  			}	
  			col[v].insert(all); S[top]=0,top--;
  			col[now].insert(all);
  			siz[all]++; siz[all]++;
  		}
  		low[now]=min(low[now],low[v]);
  	}
  	else low[now]=min(low[now],dfn[v]);
  }
  return;  
}

不得不说一下 \(STL\) 栈和手写栈的优缺点了

• STL \(stack\) 能减少码量，动态空间，但不方便调试。
• 手写栈方便调试，但会多上几行。

关于点双的一些结论

• 如果一个点双联通分量的 \(size>=2\) ，则点双中任意两点 \(u\),\(v\)，必然存在至少两条 互不重叠（指路径上除了起点和终点外，没有相同的点）的路径，

  而对于点双中的一点\(u\)和不在此点双中的一点\(v\),则不会存在两条路径互不重叠。

  证明：

  先证 点双（size>2）中任意两点 必然存在至少两条 互不重叠的路径，：

  若只存在一条，那么去掉其中一点（不是任意，是连着其他点的点），不联通，违反了定义，即证。

  再证

  而对于点双中的一点\(u\)和不在此点双中的一点\(v\),则不会存在两条路径互不重叠。

  若存在，则 \(v\) 也在此点双中，违反了定义，即证。

  一定要记得特判 size

桥和边双

一些结论

• 一个点只能属于一个边双联通分量
• 把一个无向无环图（通过加边）变成使每一个点都至少在一个环上的代价是(叶子节点数+1)>>1;(叶子节点指只有一条边与该点相邻的点)。