1tarjan
可以用来求割点，缩点与桥
2.无向图
2.1一些定义
-
割点与桥
给定无向图\(G=(V,E)\)
若对于\(x\in V\)，从图中删去节点x以及所有与x相关联的边后，G分裂成两个及以上不相连的子图，则称x为G的割点。
若对于\(e\in E\)，从图中删去边e后，G分裂成两个不相邻的子图，则称e为G的桥或割边。
一般无向图的割点与桥就是其连通块的割点与桥。
tarjan算法基于无向图的深度优先遍历。
-
时间戳：在图的深度优先遍历过程中，按照每一个节点的一次被访问的时间顺序，依次给予n个节点1到n的整数标记，该标记就被称为时间戳，记为\(dfn_x\)
-
搜索树，在无向连通图中任选一个节点出发进行深度优先遍历，每个点只访问一次，所有发生递归的边构成一颗树，记为搜索树。
-
追溯值，设\(sub_x\)表示搜索树中以x为根的子树，\(low_x\)定义为以下节点时间戳的最小值：
- \(sub_x\)中的节点
- 通过一条不在搜索树上的边，能够到达\(sub_x\)的节点。
2.2割边判定法则
无向图\((x,y)\)是桥，当且仅当搜索树上存在x的一个子节点y，满足：\(dfs_x<low_y\)
容易发现，桥一定是搜索树中的边，并且一个简单环中的边一定都不是桥。
注：注意处理父节点和重边。
代码：
inline void tarjan(int k,int in_edge){
dfn[k]=low[k]=++num;
for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
int to=li[x].to;
if(!dfn[to]){
tarjan(to,x);
low[k]=Min(low[k],low[y]);
if(low[y]>dfn[k]) bridge[i]=bridge[i^1]=1;
}
else if(i!=(in_edge^1)) low[k]=Min(low[k],dfn[y]);
}
}
2.3割点判定法则
若x不是搜索树的根节点，则x是割点当且仅当搜索树上存在x的一个子节点y，满足：\(dfs_x\leq low_y\)
特别的，若x是搜索树的根节点，则x是割点当且仅当搜索树上存在至少两个子节点\(y_1,y_2\)满足上述条件。
因为是小于等于号，所以不用考虑父节点和重边的问题。
代码：
inline void tarjan(int k){
dfn[k]=low[k]=++num;
int flag=0;
for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
int to=li[x].to;
if(!dfn[to]){
tarjan(y);
low[k]=Min(low[k],low[y]);
if(low[y]>=dfn[k]){
flag++;
if(k!=root||flag>1) cut[k]=1;
}
}
else low[k]=Min(low[k],dfn[to]);
}
}
2.4无向图的双联通分量
无向图的双联通分量包括点双联通分量和边双联通分量，分别简称为“v-DCC”和“e-DCC”，
无向图的极大点双联通子图为点双联通分量。
无向图的极大边双联通子图被称为边双联通分量。
若无向图不存在割点，则称它为点双联通图。
若无向图不存在桥，则称它为边双联通图。
一张无向图是点双联通图，当且仅当满足下面两个条件之一：
- 图的顶点数不超过2
- 图中任意两点都同时包含在至少一个简单环中。其中简单环指的是不自交的环。
一张无向图是 边双联通图，当且仅当任意一条边都包含在至少一个简单环中。
2.4.1e-DCC求法
先用tarjan算法标记所有的桥边，然后在对整个图执行深度优先遍历，划分出每一个连通块
inline void dfs(int x){
c[x]=dcc;
for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
int to=li[x].to;
if(c[to]||bridge[x]) continue;
dfs(to);
}
}
2.4.2e-DCC缩点
把每个e-DCC看做一个节点，桥边看做无向边，整个无向图变成一棵树，可以在建一张图，构建这颗树。
for(int i=2;i<=tail;i++){
int x=li[i].to,y=li[i^1].to;
if(c[x]==c[y]) continue;
add(c[x],c[y]);
}
2.4.3v-DCC求法
需要在tarjan算法的同时维护一个栈，并维护栈中元素，方法如下：
- 当一个节点第一次被访问时，入栈。
- 当割点判定法则中的条件\(dfn_x\le low_y\)成立时，无论x是否为根，都要：
- 从栈顶不断弹出节点，直到y被弹出，
- 刚才弹出的所有节点与x一起构成v-DCC
注：不要忘记孤立点的特判
inline void tarjan(int k){
dfn[k]=low[k]=num;
stack[++top]=k;
if(k==root&&head[k]==0){
dcc[++cnt].push_back(x);
return;
}
int flag=0;
for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
int to=li[x].to;
if(!dfn(to)){
tarjan(to);
low[k]=Min(low[k],low[to]);
if(low[to]>=dfn[k]){
flag++;
if(k!=root||flag>1) cnt[k]=1;
cnt++;
int z;
do{
z=stack[top--];
dcc[cnt].push_bask(z);
}while(z!=y);
dcc[cnt].push_back(x);
}
}
else low[x]=Min(low[x],dfn[y]);
}
}
2.4.4v-DCC缩点
较为麻烦，因为一个割点可能属于多个v-DCC，
设图*有p个割点，t个v-DCC，我们建立一张包含p+t个节点的图。把每个v-DCC和每个割点都作为新图中的节点，并在每个割点个它所有的v-DCC连边，这张新图实际上是一棵树（或森林，上面同理）
num=cnt;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(cnt[i]) new_id[i]=++num;
tc=1;
for(int i=1;i<=cnt;i++){
for(int j=0;j<dcc[i].size();j++){
int x=dcc[i][j];
if(cut[x]){
add_c(i,new_id[x]);
add_c(new_id[x],i);
}
else c[x]=i;
}
}
3有向图
给定有向图\(G=(V,E)\)，若存在\(r\in V\)，满足从r出发能够到达V中所有的点，则称G是一个流图。记为\((G,r)\)，其中r为流图中的源点。
流图搜索树，时间戳的概念与无向图类似。
对于一张有向图，如果任意两点能够相互到达，则称该有向图为强连通图。
追溯值：
- 设\(sub_x\)表示流图的搜索树中以x为根的子树，x的追溯值\(low_x\)定义为满足以下条件的节点的最小时间戳：
- 该点在栈中，
- 存在一条从\(sub_x\)出发的有向边，以该店为中点。
3.1强联通分量（SCC）判断法则
在追溯值得计算过程中，若从x回溯前，有\(low_x=dfn_y\)成立，则栈中从x到栈顶的所有节点构成一个强联通分量。
inline void tarjan(int k){
dfn[k]=low[k]=++num;
stack[++top]=k;ins[k]=1;
for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
int to=li[x].to;
if(!dfn[to]){
tarjan(to);
low[k]=Min(low[k],low[to])
}
else if(ins[to])
low[k]=Min(low[k],dfn[to]);
if(dfn[k]==low[k]){
cnt++;int y;
do{
y=stack[top--];ins[y]=0;
c[y]=cnt;scc[cnt].push_back(y);
}while(k!=y);
}
}
}
缩点完后变成DAG
for(int x=1;x<=n;x++){
for(int i=head[x];i;i=li[x].next){
int to=li[x].to;
if(c[x]==c[to]) continue;
add_c(c[x],c[to]);
}
}
4引用
- 《算法竞赛进阶指南》