正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3577

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题目大意

给出\(n\)个点\(m\)条边的一张图，每个点有费用\(C_i\)，求选出费用和最小的点使得每个点都至少有一个相邻的点（或自己）被选择。保证图上不存在超过\(10\)个点的简单路径。

\(1\leq n\leq 20000,1\leq m\leq 25000\)

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解题思路

突破点肯定在于不超过\(10\)个点的简单路径，可以理解为任意一个点为根时的深度都不超过\(10\)，因为\(dfs\)树上所有边都是返祖边，所以考虑状压。

设\(f_{i,s}\)表示节点\(i\)所在到根节点的链上的节点状态为\(s\)时的最小贡献，因为选过的点会影响到下面的节点，所以两维的状态不能够转移，设\(0/1/2\)表示这个节点选择了/没有选择且没有覆盖/没有选择且被覆盖。

然后转移挺好写的，但是会\(MLE\)，因为同深度之间的转移相同，所以之间设\(f_{d,s}\)表示深度为\(d\)的某个点状态为\(s\)即可。

时间复杂度：\(O(3^{10}n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e4+10,S=59059;
struct node{
	int to,next;
}a[N<<2];
int n,m,tot,cnt,ans,ls[N],q[N];
int dep[N],c[N],f[11][S],pw[11];
bool v[N];
void addl(int x,int y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x,int fa){
	int cnt=0;v[x]=1;
	dep[x]=dep[fa]+1;
	int d=dep[x],MS=pw[dep[x]];
	if(fa){
		for(int i=ls[x];i;i=a[i].next)
			if(v[a[i].to])q[++cnt]=a[i].to;
		memset(f[d],0x3f,sizeof(f[d]));
		for(int s=0;s<MS;s++){
			int No=1,Yes=s;
			for(int i=1;i<=cnt;i++){
				if(s/pw[dep[q[i]]]%3==0)No=2;
				if(s/pw[dep[q[i]]]%3==1)Yes+=pw[dep[q[i]]];
			}
			f[d][s+No*pw[d]]=min(f[d][s+No*pw[d]],f[d-1][s]);
			f[d][Yes]=min(f[d][Yes],f[d-1][s]+c[x]);
		}
	}
	else f[0][0]=c[x],f[0][1]=0,f[0][2]=1e9;
	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
		int y=a[i].to;
		if(v[y])continue;dfs(y,x);
		for(int s=0;s<MS*3;s++)
			f[d][s]=min(f[d+1][s],f[d+1][s+2*pw[d+1]]);
	}
	return;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=10;i++)pw[i]=pw[i-1]*3;
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&c[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	dep[0]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!v[i]){
			dfs(i,0);
			ans+=min(f[0][0],f[0][2]);
		}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}