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1、EM原理
EM本质是上是极大似然估计(MLE)概率模型有时即含有观测变量,又含有隐变量,如果概率模型的变量都是观测变量,只要show出测量数据,可以直接用极大似然估计法,或者用贝叶斯估计法估计模型参数。但是当模型含有隐变量时,就不能简单的用这些估计方法,EM算法就是含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计法。
举个例子啥是隐变量,假设学校有100人,我们可以测出这100人的身高数据,我们都知道人的身高有时依赖于性别,但是不知道男女比例,这时男女比可以作为隐变量。
2、啥是混合高斯模型
先上表达式:
p(xj)=k=1∑MN(xj∣μk,Σk)P(Gk),j=1,2,…,N
上式是混合高斯模型的pdf,M表示高斯模型的数量(很多时候可视作分类簇数量),P(Gk)表示事件k发生的概率,μk,Σk分别表示第k个高斯模型的均值和协方差矩阵。
3、EM算法求解GMM
先上似然函数:
L(θ)=i=1∏Nz∑p(xi,z;θ)
取对数后:
l(θ)=logi=1∏Nz∑p(xi,z;θ)=i=1∑Nlogz∑p(xi,z;θ)
由于log函数满足凹函数性质,由一系列操作可以得到:
l(θ)≥i=1∑Nz∑Qi(zj)logQi(zj)p(xi,z;θ)
当Qi(zj)p(xi,z;θ)为常数时,等号成立。
所以E-step:
Qi(zj)=p(zj∣xi;θ)
M-step就是在E-step上使上述函数值的期望取得最大时参数θ的取值:
θ:=argmaxl(θ)
接下来就是将GMM的pdf代入到EM算法步骤中:
第一步:对第i个样本对第j个高斯分布的贡献率:
Qi(z=j)=P(z=j∣xi;μ,Σ)
第二步:根据E-step中的Q估计μ,Σ:
μl=∑iNQi∑iNQixi
Σj=∑iNQj(i)∑iNQj(i)(x(i)−μj)(x(i)−μj)T
对于j事件的发生概P(Gj):
P(Gj)=N∑iNQj(i)
4、实例
假设从学校学生中随机选取100位学生,测量这100位学生身高,既有男学生也有女生,现在已知测量数据。并且知道男性女性的身高均服从高斯分布N(μ1,σ1),N(μ2,σ2),
试估计参数μ1,σ1,μ2,σ2以及男女比例pmale和pfemale
第一步产生这一百个学生的身高数据:
N=100; %样本数目
mu1=170; %男生身高均值
sigma1=0.5; %男生身高均方根
mu2=160; %女生身高均值
sigma2=0.1; %女生身高均方根
pm=0.6; %男生所占总数比例
pf=1-pm; %女生所占总数比例
maleDatas=normrnd(mu1,sigma1,[1,N*pm]);%产生男生身高数据服从高斯随机分布
femaleDates=normrnd(mu2,sigma2,[1,N*pf]);%产生女生身高数据服从高斯随机分布
obsX=[maleDatas,femaleDates];
randIdx=randperm(N);
obsX=obsX(randIdx); %混合男女身高数据
maxiter=100; %最大迭代次数
第二步,用EM算法进行参数估计:
%% EM算法解GMM模型
% 第一步,初始化参数
estpm=0.5*ones(1,maxiter); %待估男生比例
estpf=1-estpm; %待估女生比例
estmu1=mean(obsX)*ones(1,maxiter); %待估男生身高均值
estsigma1=sqrt(std(obsX))*ones(1,maxiter);%待估男生身高均方根
estmu2=estmu1; %待估女生身高均值
estsigma2=estsigma1+rand*ones(1,maxiter); %待估男女生身高均方根
Q=zeros(2,N); %初始化贡献率
for i=2:maxiter
% 第二步,E-step,计算贡献率
for j=1:N
k(1,j)=estpm(i-1)/(sqrt(2*pi)*estsigma1(i-1))*exp(-(obsX(j)-estmu1(i-1))^2/(2*estsigma1(i-1)^2));
k(2,j)=estpf(i-1)/(sqrt(2*pi)*estsigma2(i-1))*exp(-(obsX(j)-estmu2(i-1))^2/(2*estsigma2(i-1)^2));
p(j)=k(1,j)+k(2,j);
Q(1,j)=k(1,j)/p(j); %计算每个样本点对男生高斯分布贡献率
Q(2,j)=k(2,j)/p(j); %计算每个样本点对女生高斯分布贡献率
end
% 第三步,M-step,更新参数
nk=sum(Q,2);
estmu1(i)=Q(1,:)*obsX'/nk(1);
estmu2(i)=Q(2,:)*obsX'/nk(2);
estsigma1(i)=sqrt(sum(Q(1,:).*(obsX-estmu1(i)).^2)/nk(1));
estsigma2(i)=sqrt(sum(Q(2,:).*(obsX-estmu2(i)).^2)/nk(2));
estpm(i)=nk(1)/N;
estpf(i)=nk(2)/N;
end
结果:
可以看出经过100次迭代后,GMM参数估计得到了很好的估计。