能量采集Description
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。
Input
仅包含一行，为两个整数n和m。
Output
仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。
Sample Input
【样例输入1】
5 4 【样例输入2】
3 4Sample Output
【样例输出1】
36 【样例输出2】
20 【数据规模和约定】
对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10； 对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100； 对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000； 对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000； 对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。
感觉我自己很难想出来哈~
O(nlogn)：f[i]表示不超过限制时gcd(a,b)=i的对数，从后往前做然后减掉多算的：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn =100005;
typedef long long LL ;
LL f[maxn];///f[i]表示满足gcd(x,y)=i的对数
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
LL t=min(n,m);
LL ans=0;
for(int i=t;i;i--){
f[i]=(LL)(m/i)*(n/i);
for(int j=i+i;j<maxn;j+=i)
f[i]-=f[j];
ans+=f[i]*(2*i-1);
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
把他们累加起来计算即可。
O(n):∑(a,b) (1<=a<=n,1<=b<=m) = ∑phi[d]*⌊n/d⌋*⌊m/d⌋
具体见ppt证明。
O(√n)：用分块方法计算上式
可见，形式类似d*√（n/d）的可以考虑分块优化来做~~
代码如下：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define Maxn 100010
#define LL long long LL pri[Maxn],phi[Maxn],cnt;
bool q[Maxn]; LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;} void get_phi(LL mx)
{
memset(q,,sizeof(q));
cnt=;
phi[]=;
for(LL i=;i<=mx;i++)
{
if(q[i])
{
pri[++cnt]=i;
phi[i]=i-;
}
for(LL j=;j<=cnt;j++)
{
if(i*pri[j]>mx) break; q[i*pri[j]]=;
// int a=0,b=i;
// while(b%pri[j]==0) b/=pri[j],a++;
if(i%pri[j]==) phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-); if(i%pri[j]==) break;
}
}
} int main()
{
get_phi();
int T=;
while(T--)
{
LL ans=;
LL n,m;
scanf("%lld%lld",&n,&m); for(LL i=;i<=mymin(n,m);i++)
{
ans+=phi[i]*(n/i)*(m/i);
// printf("%d %d\n",i,phi[i]*(n/i)*(m/i));
} ans=*ans-m*n; printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
O（nlogn）
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define Maxn 100010
#define LL long long LL pri[Maxn],phi[Maxn],h[Maxn],cnt;
bool q[Maxn]; LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;} void get_phi(LL mx)
{
memset(q,,sizeof(q));
cnt=;
phi[]=;
for(LL i=;i<=mx;i++)
{
if(q[i])
{
pri[++cnt]=i;
phi[i]=i-;
}
for(LL j=;j<=cnt;j++)
{
if(i*pri[j]>mx) break; q[i*pri[j]]=;
// int a=0,b=i;
// while(b%pri[j]==0) b/=pri[j],a++;
if(i%pri[j]==) phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-); if(i%pri[j]==) break;
}
}
h[]=phi[];
for(int i=;i<=mx;i++) h[i]=h[i-]+phi[i];
} int main()
{
get_phi();
int T=;
while(T--)
{
LL ans=;
LL n,m,t;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if(n>m) t=n,n=m,m=t; int sq=(int)ceil(sqrt((double)m)); for(LL i=;i<=sq;i++)
{
ans+=phi[i]*(n/i)*(m/i);
} for(LL i=sq+;i<=n;)
{
int x=n/i,y=m/i;
int r1=n/x+,r2=m/y+;
int r=mymin(r1,r2);
if(r>n+) r=n+;
ans+=x*y*(h[r-]-h[i-]);
i=r;
} ans=*ans-m*n; printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
O（√n） 分块
2016-08-30 09:16:28