Description
去年的Lucas非常喜欢数论题，但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。
在整理以前的试题时，发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”，其中 表示i的约数个数。他现在长大了，题目也变难了。
求如下表达式的值：
一行一个整数ans，表示答案模1000000007的值。
Sample Input
2
Sample Output
8
HINT
对于100%的数据n <= 10^9。
题解：
解锁新技能：杜教筛。
再复习一下：
若$F(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)，g(i)=\sum_{j|i}f(i),G(n)=\sum_{i=1}^{n}g(i)$，
则有：$G(n)=\sum_{i=1}^{n}F(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$。
即：$F(n)=G(n)-\sum_{i=2}^{n}F(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$
然后就可以上杜教筛了。
话归正题：
对于本题，其实和bzoj3994式子一样……
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}d(ij)$
$=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p=1}^{n^{2}}[p|ij]$
$=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p=1}^{n^{2}}[\frac{p}{(p,i)}|j]$
$=\sum_{t=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{t}\rfloor}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n^{2}}{t}\rfloor}[p|j]*[(i,p)==1]$
$=\sum_{t=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{t}\rfloor}\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n^{2}}{t}\rfloor}\sum_{d|(i,p)}\mu(d)\lfloor \frac{n}{p} \rfloor$
$=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{t=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{td}\rfloor}\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n^{2}}{td}\rfloor}\lfloor\frac{n}{pd}\rfloor$
$n>=pd,n^{2}>=tdn$
$\therefore Ans=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{t=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{td}\rfloor}\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n}{td}\rfloor}\lfloor\frac{n}{pd}\rfloor$
$Ans=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{t=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{td}\rfloor\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{pd}\rfloor$
$设f(i)=\sum_{x=1}^{i}\lfloor\frac{i}{x} \rfloor$
$\therefore Ans=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)f^2(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$
然后分块+杜教筛即可。
代码：
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=(ll)3e6+;
const ll mod=1000000007ll;
short miu[N];
int prim[N/],num;
bool vis[N];
int sum[N];
inline void init(){
miu[]=sum[]=;
for(int i=;i<N;i++){
if(!vis[i]){
prim[++num]=i;
miu[i]=-;
}for(int j=;j<=num&&prim[j]*i<N;j++){
vis[i*prim[j]]=;
if(i%prim[j]==){
miu[i*prim[j]]=;
break;
}
else
miu[i*prim[j]]=-miu[i];
}
// printf("miu[%d]=%d\n",i,miu[i]);
}
for(int i=;i<N;i++)
sum[i]=sum[i-]+miu[i];
}
struct edges{
ll v;int w;edges *last;
}edge[N/],*head[];int cnt;
const int limit=;
inline void push(int u,ll v,int w){
edge[++cnt]=(edges){v,w,head[u]};head[u]=edge+cnt;
}
inline ll Get_sum(ll x){
if(x<N) return sum[x];
int t=x%limit;
for(edges *i=head[t];i;i=i->last)
if(i->v==x) return i->w;
ll ans=;
for(ll i=,pos;i<=x;i=pos+){
pos=x/i;
pos=x/pos;
ans-=(pos-i+)*Get_sum(x/pos);
}
push(t,x,ans);
return ans;
}
inline ll Get_F(ll x){
ll ans=;
for(ll i=,pos;i<=x;i=pos+){
pos=x/i;
pos=x/pos;
ll t=x/i;
ans+=t*(pos-i+);
ans%=mod;
}return ans;
}
inline ll solve(ll x){
ll ans=;
for(ll i=,pos;i<=x;i=pos+){
pos=x/i;
pos=x/pos;
ll t=Get_F(x/i);
ans+=(Get_sum(pos)-Get_sum(i-))%mod*t%mod*t%mod;
ans%=mod;
}
return (ans%mod+mod)%mod;
}
int main(){
init();
ll a;
scanf("%lld",&a);
printf("%lld\n",solve(a));
}