F - Make Pair

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大致题意:

有2*n个同学,给出m个同学对(x,y),表示x可以与y组队.其他同学均与x和y无法组队.

一共进行n次操作.每次操作针对相邻的同学,如果相邻同学可以组队,则组队,并把组好队的同学从序列中剔除,再把序列连接起来,使被移除学生的左边和右边的两个学生现在是相邻的.

问,一共有多少种操作方案,使得所有同学都两两组队.(mod 998244353)

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解题思路:

数据范围小,区间dp

状态表示: f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示区间i到j的操作方案数

分析:首先用vis数组表示ab同学是否可以组队.

枚举区间长度len,因为每次都是判断两名同学是否可以组队,所以len从2开始枚举,每次+=2

初始情况就是len=2的时候,判断相邻同学是否可以组队

然后就是区间进行合并,有两种情况:

1. 区间两头可以组队 v i s [ l ] [ r ] = = 1 f [ l ] [ r ] = f [ l + 1 ] [ r − 1 ] + 1 vis[l][r]==1 f[l][r]=f[l+1][r-1]+1 vis[l][r]==1f[l][r]=f[l+1][r−1]+1
2. 2.枚举断点k,l和k可以组队,(k==l+1特判)那么[l+1,k-1]区间和[k+1,r]区间方案数相乘,是方案数的情况,还要考虑顺序问题,用隔板法, ∗ c [ ( r − l + 1 ) / 2 ] [ ( r − k ) / 2 ] *c[(r - l + 1) / 2][(r - k) / 2] ∗c[(r−l+1)/2][(r−k)/2]

具体看代码

答案: f [ 1 ] [ 2 ∗ n ] f[1][2*n] f[1][2∗n]

注意:取模

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AC代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
typedef long long ll;
const int N = 410;
const int mod = 998244353;
int n, m;
ll f[N][N], c[N][N];
int vis[N][N]; //标记

void init() {
	for (int i = 0; i < N; ++i)
		for (int j = 0; j <= i; ++j)
			if (!j)c[i][j] = 1;
			else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
}

int main(void)
{
	init(); //组合数
	cin >> n >> m;
	while (m--) {
		int a, b; cin >> a >> b;
		vis[a][b] = vis[b][a] = 1;
	}

	for (int len = 2; len <= 2 * n; len += 2) {
		for (int l = 1; l + len - 1 <= 2 * n; ++l) {
			int r = l + len - 1;
			if (len == 2 && vis[l][r])f[l][r] = 1; //初始化
			else {
				if (vis[l][r])f[l][r] += f[l + 1][r - 1];
				for (int k = l + 1; k < r; k += 2) {
					if (vis[l][k]) {
						if (l + 1 == k)f[l][r] = (f[l][r] + 1ll * f[k + 1][r] % mod * c[(r - l + 1) / 2][(r - k) / 2] % mod) % mod;
						else f[l][r] = (f[l][r] + (f[l + 1][k - 1]) * f[k + 1][r] % mod * c[(r - l + 1) / 2][(r - k) / 2] % mod) % mod;
					}
				}
			}
		}
	}

	cout << f[1][2 * n] << endl;
	return 0;
}

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