图神经网络task1
1 图神经网络简介
在过去的深度学习应用中，我们接触的数据形式主要是这四种：矩阵、张量、序列（sequence）和时间序列（time series）。然而来自现实世界应用的数据更多地是图的结构，如社交网络、交通网络、蛋白质与蛋白质相互作用网络、知识图谱和大脑网络等。图提供了一种通用的数据表示方法，众多其他类型的数据也可以转化为图的形式。此外，大量的现实世界的问题可以作为图上的一组小的计算任务来解决。推断节点属性、检测异常节点（如垃圾邮件发送者）、识别与疾病相关的基因、向病人推荐药物等，都可以概括为节点分类问题。推荐、药物副作用预测、药物与目标的相互作用识别和知识图谱的完成（knowledge graph completion）等，本质上都是边预测问题。
同一图的节点存在连接关系，这表明节点不是独立的。然而，传统的机器学习技术假设样本是独立且同分布的，因此传统机器学习方法不适用于图计算任务。图机器学习研究如何构建节点表征，节点表征要求同时包含节点自身的信息和节点邻接的信息，从而我们可以在节点表征上应用传统的分类技术实现节点分类。图机器学习成功的关键在于如何为节点构建表征。深度学习已经被证明在表征学习中具有强大的能力，它大大推动了计算机视觉、语音识别和自然语言处理等各个领域的发展。因此，将深度学习与图连接起来，利用神经网络来学习节点表征，将带来前所未有的机会。
然而，如何将神经网络应用于图，这一问题面临着巨大的挑战。首先，传统的深度学习是为规则且结构化的数据设计的，图像、文本、语音和时间序列等都是规则且结构化的数据。但图是不规则的，节点是无序的，节点可以有不同的邻居节点。其次，规则数据的结构信息是简单的，而图的结构信息是复杂的，特别是在考虑到各种类型的复杂图，它们的节点和边可以关联丰富的信息，这些丰富的信息无法被传统的深度学习方法捕获。
图深度学习是一个新兴的研究领域，它将深度学习技术与图数据连接起来，推动了现实中的图预测应用的发展。然而，此研究领域也面临着前所未有的挑战。
注：以上内容整理自“Deep Learning on Graphs: An Introduction”！！！
2 环境配置
在谷歌colab上搭建环境
!python -V
!nvcc --version
%%bash
MINICONDA_INSTALLER_SCRIPT=Miniconda3-4.5.4-Linux-x86_64.sh
MINICONDA_PREFIX=/usr/local
wget https://repo.continuum.io/miniconda/$MINICONDA_INSTALLER_SCRIPT
chmod +x $MINICONDA_INSTALLER_SCRIPT
./$MINICONDA_INSTALLER_SCRIPT -b -f -p $MINICONDA_PREFIX
!which conda
%%bash
conda install --channel defaults conda python=3.6 --yes
conda update --channel defaults --all --yes
import sys
_ = (sys.path
.append("/usr/local/lib/python3.6/site-packages"))
sys.path
!conda install pytorch torchvision torchaudio cudatoolkit=11.1 -c pytorch -c nvidia
!python -c "import torch; print(torch.__version__)"
!python -c "import torch; print(torch.version.cuda)"
!source ~/.bashrc
!conda info -e
!source activate
!pip install torch-scatter -f https://pytorch-geometric.com/whl/torch-1.8.0+cu111.html
!pip install torch-sparse -f https://pytorch-geometric.com/whl/torch-1.8.0+cu111.html
!pip install torch-cluster -f https://pytorch-geometric.com/whl/torch-1.8.0+cu111.html
!pip install torch-spline-conv -f https://pytorch-geometric.com/whl/torch-1.8.0+cu111.html
!pip install torch-geometric
3 简单图论
定义一（图）：
- 一个图被记为 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}，其中 V = { v 1 , … , v N } \mathcal{V}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{N}\right\} V={v1,…,vN}是数量为 N = ∣ V ∣ N=|\mathcal{V}| N=∣V∣ 的结点的集合， E = { e 1 , … , e M } \mathcal{E}=\left\{e_{1}, \ldots, e_{M}\right\} E={e1,…,eM} 是数量为 M M M 的边的集合。
- 图用节点表示实体（entities ），用边表示实体间的关系（relations）。
- 节点和边的信息可以是类别型的（categorical），类别型数据的取值只能是哪一类别。一般称类别型的信息为标签（label）。
- 节点和边的信息可以是数值型的（numeric），类别型数据的取值范围为实数。一般称类别型的信息为属性（attribute）。
- 大部分情况中，节点含有信息，边可能含有信息。
定义二（图的邻接矩阵）：
-
给定一个图 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}，其对应的邻接矩阵被记为 A ∈ { 0 , 1 } N × N \mathbf{A} \in\{0,1\}^{N \times N} A∈{0,1}N×N。 A i , j = 1 \mathbf{A}_{i, j}=1 Ai,j=1表示存在从结点 v i v_i vi到 v j v_j vj的边，反之表示不存在从结点 v i v_i vi到 v j v_j vj的边。
-
在无向图中，从结点 v i v_i vi到 v j v_j vj的边存在，意味着从结点 v j v_j vj到 v i v_i vi的边也存在。因而无向图的邻接矩阵是对称的。
-
在无权图中，各条边的权重被认为是等价的，即认为各条边的权重为 1 1 1。
-
对于有权图，其对应的邻接矩阵通常被记为 W ∈ { 0 , 1 } N × N \mathbf{W} \in\{0,1\}^{N \times N} W∈{0,1}N×N，其中 W i , j = w i j \mathbf{W}_{i, j}=w_{ij} Wi,j=wij表示从结点 v i v_i vi到 v j v_j vj的边的权重。若边不存在时，边的权重为 0 0 0。
一个无向无权图的例子：
其邻接矩阵为：
A = ( 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 ) \mathbf{A}=\left(\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛0101110100010011000110110⎠⎟⎟⎟⎟⎞
图的属性
定义三（结点的度，degree）：
- 对于有向有权图，结点 v i v_i vi的出度（out degree）等于从 v i v_i vi出发的边的权重之和，结点 v i v_i vi的入度（in degree）等于从连向 v i v_i vi的边的权重之和。
- 无向图是有向图的特殊情况，结点的出度与入度相等。
- 无权图是有权图的特殊情况，各边的权重为 1 1 1，那么结点 v i v_i vi的出度（out degree）等于从 v i v_i vi出发的边的数量，结点 v i v_i vi的入度（in degree）等于从连向 v i v_i vi的边的数量。
- 结点 v i v_i vi的度记为 d ( v i ) d(v_i) d(vi)，入度记为 d i n ( v i ) d_{in}(v_i) din(vi)，出度记为 d o u t ( v i ) d_{out}(v_i) dout(vi)。
定义四（邻接结点，neighbors）：
- 结点 v i v_i vi的邻接结点为与结点 v i v_i vi直接相连的结点，其被记为** N ( v i ) \mathcal{N(v_i)} N(vi)**。
- **结点 v i v_i vi的 k k k跳远的邻接节点（neighbors with k k k-hop）**指的是到结点 v i v_i vi要走 k k k步的节点（一个节点的 2 2 2跳远的邻接节点包含了自身）。
定义五（行走，walk）：
- w a l k ( v 1 , v 2 ) = ( v 1 , e 6 , e 5 , e 4 , e 1 , v 2 ) walk(v_1, v_2) = (v_1, e_6,e_5,e_4,e_1,v_2) walk(v1,v2)=(v1,e6,e5,e4,e1,v2)，这是一次“行走”，它是一次从节点 v 1 v_1 v1出发，依次经过边 e 6 , e 5 , e 4 , e 1 e_6,e_5,e_4,e_1 e6,e5,e4,e1，最终到达节点 v 2 v_2 v2的“行走”。
- 下图所示为 w a l k ( v 1 , v 2 ) = ( v 1 , e 6 , e 5 , e 4 , e 1 , v 2 ) walk(v_1, v_2) = (v_1, e_6,e_5,e_4,e_1,v_2) walk(v1,v2)=(v1,e6,e5,e4,e1,v2)，其中红色数字标识了边的访问序号。
- 在“行走”中，节点是运行重复的。
定理六：
- 有一图，其邻接矩阵为 A \mathbf{A} A, A n \mathbf{A}^{n} An为邻接矩阵的 n n n次方，那么 A n [ i , j ] \mathbf{A}^{n}[i,j] An[i,j]等于从结点 v i v_i vi到结点 v j v_j vj的长度为 n n n的行走的个数。
定义七（路径，path）：
- “路径”是结点不可重复的“行走”。
定义八（子图，subgraph）：
- 有一图 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}，另有一图 G ′ = { V ′ , E ′ } \mathcal{G}^{\prime}=\{\mathcal{V}^{\prime}, \mathcal{E}^{\prime}\} G′={V′,E′}，其中 V ′ ∈ V \mathcal{V}^{\prime} \in \mathcal{V} V′∈V， E ′ ∈ E \mathcal{E}^{\prime} \in \mathcal{E} E′∈E并且 V ′ \mathcal{V}^{\prime} V′不包含 E ′ \mathcal{E}^{\prime} E′中未出现过的结点，那么 G ′ \mathcal{G}^{\prime} G′是 G \mathcal{G} G的子图。
定义九（连通分量，connected component）：
-
给定图 G ′ = { V ′ , E ′ } \mathcal{G}^{\prime}=\{\mathcal{V}^{\prime}, \mathcal{E}^{\prime}\} G′={V′,E′}是图 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}的子图。记属于图 G \mathcal{G} G但不属于 G ′ \mathcal{G}^{\prime} G′图的结点集合记为 V / V ′ \mathcal{V}/\mathcal{V}^{\prime} V/V′ 。如果属于 V ′ \mathcal{V}^{\prime} V′的任意结点对之间存在至少一条路径，但不存在一条边连接属于 V ′ \mathcal{V}^{\prime} V′的结点与属于 V / V ′ \mathcal{V}/\mathcal{V}^{\prime} V/V′的结点，那么图 G ′ \mathcal{G}^{\prime} G′是图 G \mathcal{G} G的连通分量。
左右两边子图都是整图的连通分量。
定义十（连通图，connected graph）：
- 当一个图只包含一个连通分量，即其自身，那么该图是一个连通图。
定义十一（最短路径，shortest path）：
-
v
s
,
v
t
∈
V
v_{s}, v_{t} \in \mathcal{V}
vs,vt∈V 是图
G
=
{
V
,
E
}
\mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\}
G={V,E}上的一对结点，结点对
v
s
,
v
t
∈
V
v_{s}, v_{t} \in \mathcal{V}
vs,vt∈V之间所有路径的集合记为
P
s
t
\mathcal{P}_{\mathrm{st}}
Pst。结点对
v
s
,
v
t
v_{s}, v_{t}
vs,vt之间的最短路径
p
s
t
s
p
p_{\mathrm{s} t}^{\mathrm{sp}}
pstsp为
P
s
t
\mathcal{P}_{\mathrm{st}}
Pst中长度最短的一条路径，其形式化定义为
p s t s p = arg min p ∈ P s t ∣ p ∣ p_{\mathrm{s} t}^{\mathrm{sp}}=\arg \min _{p \in \mathcal{P}_{\mathrm{st}}}|p| pstsp=argp∈Pstmin∣p∣
其中， p p p表示 P s t \mathcal{P}_{\mathrm{st}} Pst中的一条路径， ∣ p ∣ |p| ∣p∣是路径 p p p的长度。
定义十二（直径，diameter）：
- 给定一个连通图 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}，其直径为其所有结点对之间的最短路径的最小值，形式化定义为
diameter ( G ) = max v s , v t ∈ V min p ∈ P s t ∣ p ∣ \operatorname{diameter}(\mathcal{G})=\max _{v_{s}, v_{t} \in \mathcal{V}} \min _{p \in \mathcal{P}_{s t}}|p| diameter(G)=vs,vt∈Vmaxp∈Pstmin∣p∣
定义十三（拉普拉斯矩阵，Laplacian Matrix）：
- 给定一个图 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}，其邻接矩阵为 A A A，其拉普拉斯矩阵定义为 L = D − A \mathbf{L=D-A} L=D−A，其中 D = d i a g ( d ( v 1 ) , ⋯ , d ( v N ) ) \mathbf{D=diag(d(v_1), \cdots, d(v_N))} D=diag(d(v1),⋯,d(vN))。
定义十四（对称归一化的拉普拉斯矩阵，Symmetric normalized Laplacian）：
- 给定一个图 G = { V , E } \mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\} G={V,E}，其邻接矩阵为 A A A，其规范化的拉普拉斯矩阵定义为
L = D − 1 2 ( D − A ) D − 1 2 = I − D − 1 2 A D − 1 2 \mathbf{L=D^{-\frac{1}{2}}(D-A)D^{-\frac{1}{2}}=I-D^{-\frac{1}{2}}AD^{-\frac{1}{2}}} L=D−21(D−A)D−21=I−D−21AD−21
图的种类
- 同质图（Homogeneous Graph）：只有一种类型的节点和一种类型的边的图。
- 异质图（Heterogeneous Graph）：存在多种类型的节点和多种类型的边的图。
- 二部图（Bipartite Graphs）：节点分为两类，只有不同类的节点之间存在边。
Data类的构建
# Data类的构造函数：
class Data(object):
def __init__(self, x=None, edge_index=None, edge_attr=None, y=None, **kwargs):
r"""
Args:
x (Tensor, optional): 节点属性矩阵，大小为`[num_nodes, num_node_features]`
edge_index (LongTensor, optional): 边索引矩阵，大小为`[2, num_edges]`，第0行为尾节点，第1行为头节点，头指向尾
edge_attr (Tensor, optional): 边属性矩阵，大小为`[num_edges, num_edge_features]`
y (Tensor, optional): 节点或图的标签，任意大小（，其实也可以是边的标签）
"""
self.x = x
self.edge_index = edge_index
self.edge_attr = edge_attr
self.y = y
for key, item in kwargs.items():
if key == 'num_nodes':
self.__num_nodes__ = item
else:
self[key] = item