1、质数判断

bool isPrime(int n) {
    if (n < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= n / i; i++)
        if (n % i == 0) return false;
    return true;
}

2、埃拉筛

const int N = 1e5 + 10;
int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];             // st[x]存储x是否被筛掉

void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        if (!st[i]) {
            primes[cnt++] = i;   //记录素数
            for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) //成倍数的标识
                st[j] = true;
        }
}

3、欧拉筛

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];             // st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

1、对于\(st[i*prime[j]] = true\) 的理解:

对每个从小到大遍历到的\(i\)，让他乘上之前已经找到的素数，将每个得到的积筛掉。

2、对于关键一步的理解

if(i % prime[j] == 0) break;

我们以当\(i=8,j=0\)时的情况为例（自己动手在草稿纸上跟着写一遍）：

此时\(prime[j]=2,prime[j+1]=3\);
此时将 \(i * prime[j]= 8 * 2 =16\) 筛去（16被他最小的质因子\(2\)筛去）

然后发现 \(i % prime[j]==0\)，因为\(8%2==0\)，如果此时不跳出循环，下一步应筛去\(8*prime[j+1] = 8 * 3 = 24\)
而\(24\)的最小质因子是\(2\)，再考察上一步，发现\(8 * prime[j+1] = 8 * 3=2 * 4 * 3 = 4 * 3 * 2=12 * prime[j]\),也就是说如果此时将\(24\)筛去，当\(i\)增加至\(12\)时，\(24\)将被\(2\)再次筛选，
我们可以总结如下：当\(i%prime[j]==0\)时，有 \(i = prime[j] * k\) ,即 \(prime[j] * k *prime[j+1]\) 应当在在 \(i = k *prime[j+1]\) 时由\(prime[j]\)筛去，所以当发现当\(i%prime[j]==0\)时\(break\),保证了每个合数只被它的最小的质因子筛选一次。

4、分解质因数

void divide(int x) {
    for (int i = 2; i <= x / i; i++) //到sqrt就够了
        if (x % i == 0) {
            int s = 0;
            while (x % i == 0) x /= i, s++;
            cout << i << ' ' << s << endl;
        }
    //如果还没有除开，就是还需要写一个
    if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;
    cout << endl;
}