摘要：面试官：你知道怎么求素数吗？我：求素数？
本文分享自华为云社区《很多人不知道的求素数的正确方法》，原文作者：bigsai 。
前言
现在的面试官，是无数开发者的梦魇，能够吊打面试官的属实不多，因为大部分面试官真的有那么那几下子。但在面试中，我们这些小生存者不能全盘否定只能单点突破—从某个问题上让面试官眼前一亮。这不，今天就来分享来了。
这年头，算法岗内卷不说，开发岗也有点内卷，对开发者要求越来越高了，而面试官也是处心积虑的“刁难” 面试者，凡是都喜欢由浅入深，凡是都喜欢问个：你知道为什么？你知道原理吗？之类。并且，以前只是大厂面试官喜欢问算法，大厂员工底子好，很多甚至有 ACM 经验或者系统刷题经验，这很容易理解，但现在一些小公司面试官也是张口闭口 xx 算法、xx 数据结构你说说看，这不，真的被问到了。
求一个质数
在这么一次的过程，面试官问我算法题我不吃惊，我实现早把十大排序原理、复杂度分析、代码手写实现出来了，也把链表、树的各种操作温习的滚瓜烂熟，不过突然就是很诧异的面试官来了一道求素数问题，我把场景还原一下：
面试官：你知道怎么求素数吗？
我：求素数？
面试官：是的，就是求素数。
我：这很简单啊，判断一个数为素数，那么肯定就没有两个数(除了自身和 1)相乘等于它，只需要枚举看看有没有能够被它整除的数就可以了，如果有那么就不是素数，如果没有，那么就是素数。
面试官露出一种失望的表情，说我说的对，但没答到点子上，让我具体说一下。
下面开始开始我的表演：
首先，最笨的方法，判断 n 是否为素数，就是枚举[2,n-1]之间有没有直接能够被 n 整除的，如果有，那么返回 false 这个就不是素数，否则就是素数，代码如下：
boolean isprime(int value){
for(int i=2;i<value;i++)
{
if(value%i==0)
{return false;}
}
return true;
}
这种判断一个素数的时间复杂度为 O(n).
但是其实这种太浪费时间了，完全没必要这样，可以优化一下 。如果一个数不是质数，那么必定是两个数的乘积，而这两个数通常一个大一个小，并且小的小于等于根号 n，大的大于等于根号 n，我们只需要枚举小的可能范围，看看是否能够被整除，就可以判断这个数是否为素数啦。例如
100=2*50=4*25=5*20=10*10
只需要找 2—10 这个区间即可。右侧的一定有个对应的不需要管它。
boolean isprime(int value)
{
for(int i=2;i*i<value+1;i++)
{
if(value%i==0)
{return false;}
}
return true;
}
这里之所以要小于 value+1，就是要包含根号的情况，例如 3*3=9.要包含 3.这种时间复杂度求单个数是 O(sqrt(n))。面试官我给你画张图让你看看其中区别：
说到这里面试官露出欣慰的笑容。
面试官：不错不错，基本点掌握了
我：老哥，其实求素数精髓不在这，这个太低效在很多时候，比如求小于 n 的所有素数，你看看怎么搞？
面试官：用个数组用第二种方法求 O(n*sqrt(n))还行啊。
求多个素数
求多个素数的时候(小于 n 的素数)，上面的方法就很繁琐了，因为有大量重复计算，因为 计算某个数的倍数 是否为素数的时候出现大量的重复计算，如果这个数比较大那么对空间浪费比较多。
这样，素数筛的概念就被发明和使用。筛的原理是从前往后进行一种递推、过滤排序以来统计素数。
埃拉托斯特尼(Eratosthenes)筛法
我们看一个数如果不是为素数，那么这个数没有数的乘积能为它，那么这样我们可以根据这个思想进行操作啊：
直接从前往后枚举，这个数位置没被标记的肯定就是素数，如果这个数是素数那么将这个数的倍数标记一下(下次遍历到就不需要在计算)。如果不是素数那么就进行下一步。这样数值越大后面计算次数越少，在进行具体操作时候可借助数组进行判断。所以埃氏筛的核心思想就是将素数的倍数确定为合数。
假设刚开始全是素数，2 为素数，那么 2 的倍数均不是素数；然后遍历到 3，3 的倍数标记一下；下个是 5(因为 4 已经被标记过)；一直到 n-1 为止。具体流程可以看图：
具体代码为：
boolean isprime[];
long prime[];
void getprime()
{
prime=new long[100001];//记录第几个prime
int index=0;//标记prime当前下标
isprime=new boolean [1000001];//判断是否被标记过
for(int i=2;i<1000001;i++)
{
if(!isprime[i])
{
prime[index++]=i;
}
for(int j=i+i;j<1000000;j=j+i)//他的所有倍数都over
{
isprime[j]=true;
}
}
}
这种筛的算法复杂度为 O(nloglogn);别小瞧多的这个 logn，数据量大一个 log 可能少不少个 0，那时间也是十倍百倍甚至更多的差距。
欧拉筛
面试官已经开始点头赞同了，哦哦的叫了起来，可其实还没完。还有个线性筛—欧拉筛。观察上述的埃氏筛，有很多重复的计算，尤其是前面的素数，比如 2 和 3 的最小公倍数为 6，每 3 次 2 的计算就也会遇到是 3 的倍数，而欧拉筛在埃氏筛的基础上改进，有效的避免了这个重复计算。
具体是何种思路呢？就是埃氏筛是遇到一个质数将它的倍数计算到底，而欧拉筛则是只用它乘以已知晓的素数的乘积进行标记，如果素数能够被整除那就停止往后标记。
在实现上同样也是用两个数组，一个存储真实有效的素数，一个用来作为标记使用。
- 在遍历到一个数的时候，如果这个数没被标记，那么这个数存在素数的数组中，对应下标加 1.
- 不管这个数是不是素数，遍历已知素数将它和该素数的乘积值标记，如果这个素数能够被当前值 i 整除，那么停止操作进行下一轮。
具体实现的代码为：
boolean isprime[];
int prime[];
void getprimeoula()// 欧拉筛
{
prime = new int[100001];// 记录第几个prime
int index = 0;
isprime = new boolean[1000001];
for (int i = 2; i < 1000001; i++) {
if (!isprime[i]) {
prime[index++] = i;
}
for (int j = 0; j < index && i * prime[j] <= 100000; j++){//已知素数范围内枚举
isprime[i * prime[j]] = true;// 标记乘积
if (i % prime[j] == 0)
break;
}
}
}
你可能会问为啥 if (i% prime[j] == 0)就要 break。
如果 i%prime[j]==0，那么就说明 i=prime[j]*k. k 为一个整数。
那么如果进行下一轮的话 i*prime[j+1]=(prime[j]*k)*prime[j+1]=prime[j]*(k*prime[j+1])当 i=k*prime[j+1]两个位置就产生冲突重复计算啦,所以一旦遇到能够被整除的就停止。
你可以看到这个过程，6 只标记 12 而不标记 18，18 被 9*2 标记。详细理解还需要多看看代码想想。过程图就不画啦！欧拉的思路就是离我较近的我给它标记。欧拉筛的时间复杂度为 O(n)，因为每个数只标记一次。
面试官露出一脸欣赏的表情，说了句不错，下面就是聊聊家常，让我等待下一次面试！