１.质数

　　定义：若一个正整数除了１和他自身外无法被其他自然数整除，该数则称为质数(又名素数)，否则称为合数(又名合成数)．　　注意：１不是质数也不是合数

　　质数的判定： 如果在２~√n 内的整数能找到整除n的整数，则该数为合数，否则为质数.

       质数的筛选：根据素数的倍数不是素数的原理，每次遍历到素数，其倍数都被标记为合数．根据这个原理便可以得到一定量的素数

利用埃氏筛（O(nlognlogn)）可获得

//埃氏筛
const int maxn = 1e6 + 10;
int prime[maxn], primesize;
int vis[maxn];
void Prime(int n)//判断1~n内的素数的个数primesize并记录在prime内
{
	memset(prime, 0, sizeof(prime));
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!vis[i])
		{
			prime[++primesize] = i;
		}
		for (int j = i; j <= n / i; j++)
		{
			vis[j*i] = 1;
		}
	}
}

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也可以利用线性筛/欧拉筛（O(n)）获得

//欧拉筛
int prime[maxn], primesize;
int vis[maxn];
void Prime(int n)
{
	memset(prime, 0, sizeof(prime));
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!vis[i])
		{
			prime[++primesize] = i;
		}
		for (int j = 1; i <= n / prime[j] && j <= primesize; j++)
		{
			vis[i*prime[j]] = 1;
			if (i%prime[j] == 0)
			{
				break;
			}
		}
	}
}

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２.质因数分解

　　定义：任何一个大于１的正整数都能唯一分解为有限个质数的乘积．可写成

Ｎ＝p1^a1 * p2^a2 * p3^ a3 * .......pk^ak.  其中p都是素数，a是p的指数．

　　跟据质数的判定以及质数的筛选，我们可以用代码得到一个数所含有的质因子的情况

//求单个数的质因数情况
const int maxn = 1e6;
int p[maxn], c[maxn];//p记录质因子  c记录质因子的指数值
void divide(int n)
{
	int m = 0;
	for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
	{
		if (n%i == 0)//i是质数
		{
			p[++m] = i, c[m] = 0;
			while (n%i == 0)n /= i, c[m]++;//除掉所有的i
		}
	}
	if (n > 1)//n是质数
	{
		p[++m] = n, c[m] = 1;
	}
}

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３.约数

　　定义：若整数ｎ除以ｄ的余数为０，既ｄ能整除ｎ，则称ｄ是ｎ的约数，ｎ是ｄ的倍数，记为ｄ｜ｎ．

　　算术基本定理的推论：若正整数N被唯一分解为Ｎ＝p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 *.......pk^ak 其中pi都是质数 ai都是正整数 ，则

　　Ｎ的正约数的个数为：

　　　　　　　　　　　　（a1 +1）*（a2+1）*（a3+1）*........*（ak+1）;

　　N的所有正约数的和为：　

　　　　　　　　　　　　（1+p1+p1^2+.......+p1^a1）*.......*（1+pk+pk^2+.......+pk^ak）

　求１～Ｎ每个数的正约束集合----倍数法（Ｏ(nlogn)）

对于每个数ｄ，１～Ｎ中以ｄ为约束的数就是ｄ的倍数ｄ，２ｄ，３ｄ．．．

//倍数法
const int maxn = 5e5 + 10;
//
vector<int> factor[maxn];
void fact(int n)
{
	for (int i = 1; i <= n; i++)//以i为约数的数有
	{
		for (int j = 1; j <= n / i; j++)
		{
			factor[i*j].push_back(i);//加入其中
		}
	}
}

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4.最大公约数

　　能同时整除自然数ａ与自然数ｂ的最大自然数ｃ

//欧几里得算法
int gcd(int a, int b)//求最大公约数
{
	return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}