高等数学学习笔记2:微分,不定积分,定积分

前言

Q:高等数学学习笔记1跑哪里去了???
A:还没写,下次补发。

其中会有一些我的理解,若不正确,感谢指出错误。
理解这篇文章,需要三角函数,导数。

微分

微分在数学中的定义:由函数B=f(A),得到A、B两个数集,在A中当dx靠近自己时,函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分
--百度百科

我们去估计 Δ y \Delta y Δy的值,就是等于 x 0 x_0 x0​处的切线斜率乘上 Δ x \Delta x Δx,即
Δ y = Δ x × f ′ ( x ) \Delta y = \Delta x \times f^\prime(x) Δy=Δx×f′(x)
换一下
d y = f ′ ( x ) × d x dy=f^\prime(x)\times dx dy=f′(x)×dx
d y dy dy就是函数的微分,我们可以发现函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积。
f ′ ( x ) = d y d x f^\prime(x)=\frac {dy}{dx} f′(x)=dxdy​
f ′ ( x ) f^\prime(x) f′(x)即微商。
高等数学学习笔记2:微分,不定积分,定积分
微分的运算法则和导数的运算法则类似。

不定积分

  • 设 f f f和 F F F在区间 I I I上有定义,若
    F ′ ( x ) = f ( x ) , x ∈ I F^\prime (x)=f(x),x\in I F′(x)=f(x),x∈I
    则称 F F F为 f f f在区间 I I I的一个原函数

  • 若函数 f f f在区间 I I I上连续,则 f f f在 I I I上存在原函数。
    初等函数是连续函数,所以每一个初等函数都有原函数。

  • 设 F F F是 f f f在区间 I I I上的一个原函数,则
    F + C F+C F+C也是一个原函数,C为任意常量函数。
    证:
    [ F ( x ) + C ] ′ = F ′ ( x ) = f ( x ) [F(x)+C]^\prime=F^\prime(x)=f(x) [F(x)+C]′=F′(x)=f(x)

定义

函数 f f f在区间 I I I上的全体原函数称为 f f f在 I I I上的不定积分,记做:
∫ f ( x ) d x \int f(x)dx ∫f(x)dx

积分和微分互为逆运算。
我们令 y = ∫ f ( x ) d x y=\int f(x)dx y=∫f(x)dx
y y y是原函数,所以有 y ′ = f ( x ) y^\prime=f(x) y′=f(x)
∴ y ′ = d y d x = f ( x ) \therefore y^\prime =\frac {dy}{dx}=f(x) ∴y′=dxdy​=f(x)
∴ d y = f ( x ) d x \therefore dy=f(x)dx ∴dy=f(x)dx
∴ ∫ d y = ∫ f ( x ) d x = y \therefore \int dy=\int f(x)dx=y ∴∫dy=∫f(x)dx=y
即 ∫ d y = y 即\int dy=y 即∫dy=y

由上面定义可知,不定积分和原函数是整体和个体的关系,所以
∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)dx=F(x)+C ∫f(x)dx=F(x)+C
C为积分常数,可以取任一实数。

积分表

因为积分和微分互为逆运算,那么我们将导数表反过来看就是积分表。
其中较为特殊的
∫ d x 1 + x 2 = a r c t a n x + C \int \frac {dx}{1+x^2}=arctan x+C ∫1+x2dx​=arctanx+C
∫ d x 1 − x 2 = a r c s i n x + C \int \frac {dx}{\sqrt1-x^2}=arcsin x+C ∫1 ​−x2dx​=arcsinx+C
arctan等为反三角函数,三角函数是度数 ⟶ \longrightarrow ⟶值,反三角函数是值 ⟶ \longrightarrow ⟶度数。
例如 s i n ( π 2 ) = 1 , sin(\frac{\pi}{2})=1, sin(2π​)=1,那么 a r c s i n ( 1 ) = π 2 arcsin(1)=\frac{\pi}{2} arcsin(1)=2π​

不定积分的线性运算法则:
∫ ( ∑ i = 1 n k i f i ( x ) ) d x = ∑ i = 1 n ( k i ∫ f i ( x ) d x ) \int (\sum ^{n}_{i=1}k_if_i(x))dx=\sum^n_{i=1}(k_i\int f_i(x)dx) ∫(i=1∑n​ki​fi​(x))dx=i=1∑n​(ki​∫fi​(x)dx)
就是常数可以提出来。通过求导可以轻松证明。

换元积分和分部积分

第一换元积分

由于证明过程有点冗杂,我们直接看例题。
求 ∫ t a n x d x \int tan x dx ∫tanxdx
解:
∵ ∫ t a n x d x = ∫ s i n x c o s x d x = ∫ − ( c o s x ) ′ c o s x d x \because \int tanxdx=\int \frac{sinx}{cosx}dx=\int \frac {-(cosx)^\prime}{cosx}dx ∵∫tanxdx=∫cosxsinx​dx=∫cosx−(cosx)′​dx
根据不定积分的线性运算法则:
∫ − ( c o s x ) ′ c o s x d x = − ∫ ( c o s x ) ′ c o s x d x \int \frac {-(cosx)^\prime}{cosx}dx=-\int \frac {(cosx)^\prime}{cosx}dx ∫cosx−(cosx)′​dx=−∫cosx(cosx)′​dx
令 u = c o s x u=cosx u=cosx
∴ ∫ ( c o s x ) ′ c o s x d x = ∫ ( u ) ′ u d u = ∫ 1 u d u = − l n ∣ u ∣ d u + C = − l n ∣ c o s x ∣ + C \therefore \int \frac {(cosx)^\prime}{cosx}dx=\int \frac {(u)^\prime}{u}du=\int \frac {1}{u}du=-ln|u|du+C=-ln|cosx|+C ∴∫cosx(cosx)′​dx=∫u(u)′​du=∫u1​du=−ln∣u∣du+C=−ln∣cosx∣+C

第二换元积分

求 ∫ d u u + u 3 \int \frac{du}{\sqrt u+\sqrt [3]{u}} ∫u ​+3u ​du​
解:
令 u = x 6 u=x^6 u=x6
∴ ∫ d u u + u 3 = ∫ 6 x 5 x 3 + x 2 d x = 6 ∫ ( x 2 − x + 1 − 1 x + 1 ) d x \therefore \int \frac{du}{\sqrt u+\sqrt [3]{u}}=\int \frac{6x^5}{x^3+x^2}dx=6\int (x^2-x+1-\frac{1}{x+1})dx ∴∫u ​+3u ​du​=∫x3+x26x5​dx=6∫(x2−x+1−x+11​)dx
想必现在很好积分了,最后还原回去即可、

我们发现第一换元就是将积分的换到微分里面去,第二换元就是微分的换的积分里面去、有些题目可以2种方法均可,这里不做赘述。

分部积分

( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime (uv)′=u′v+uv′
根据导数乘法的运算法则,我们容易得到:
分部积分公式
∫ u d v = u v − ∫ v d u \int udv=uv-\int vdu ∫udv=uv−∫vdu

我们来用一用。
求 ∫ x c o s x d x \int xcosxdx ∫xcosxdx
解:
通过换元积分我们有:
∫ x c o s x d x = ∫ x d ( s i n x ) \int xcosxdx=\int xd(sinx) ∫xcosxdx=∫xd(sinx)
根据分部积分公式,得到:
∫ x d ( s i n x ) = s i n x × x − ∫ s i n x d x = x s i n x + c o s x + C \int xd(sinx)=sinx\times x-\int sinxdx=xsinx+cosx+C ∫xd(sinx)=sinx×x−∫sinxdx=xsinx+cosx+C

定积分

定积分的几何意义即是所围成的曲边梯形的面积。
我们可以这样来看:
∫ a b f ( x ) × d x \int ^b _a f(x)\times dx ∫ab​f(x)×dx
f ( x ) × d x f(x)\times dx f(x)×dx就是长乘上宽,即小矩形的面积,全部的小矩形和在一起就是曲边梯形的面积了。

牛顿-莱布尼茨公式

∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) ∣ a b = F ( b ) − F ( a ) \int ^b _a f(x) dx=F(x)\Big\rvert^b _a=F(b)-F(a) ∫ab​f(x)dx=F(x)∣∣∣​ab​=F(b)−F(a)
即a~b的定积分就是原函数的函数值 F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F(b)−F(a)

利用定积分,我们来严格地证明圆的面积。
我们只需得到四分之一圆的面积即可,根据的圆方程得:
x 2 + y 2 = r 2 x^2+y^2=r^2 x2+y2=r2
∴ y = r 2 − x 2 \therefore y=\sqrt{r^2-x^2} ∴y=r2−x2
∴ ∫ 0 r r 2 − x 2 d x = ( 1 2 r 2 a r c s i n ( x r ) + x r 2 − x 2 ) ∣ 0 r \therefore \int^r _0 \sqrt{r^2-x^2}dx=(\frac{1}{2}r^2arcsin(\frac{x}{r})+x\sqrt{r^2-x^2})\Big\rvert^r_0 ∴∫0r​r2−x2 ​dx=(21​r2arcsin(rx​)+xr2−x2 ​)∣∣∣​0r​
∴ = π r 2 4 − 0 = π r 2 4 \therefore =\frac{\pi r^2}{4}-0=\frac{\pi r^2}{4} ∴=4πr2​−0=4πr2​
即 S = π r 2 S=\pi r^2 S=πr2

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