前言
Q：高等数学学习笔记1跑哪里去了？？？
A：还没写，下次补发。
其中会有一些我的理解，若不正确，感谢指出错误。
理解这篇文章，需要三角函数，导数。
微分
微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分
--百度百科
我们去估计
Δ
y
\Delta y
Δy的值，就是等于
x
0
x_0
x0处的切线斜率乘上
Δ
x
\Delta x
Δx，即
Δ
y
=
Δ
x
×
f
′
(
x
)
\Delta y = \Delta x \times f^\prime(x)
Δy=Δx×f′(x)
换一下
d
y
=
f
′
(
x
)
×
d
x
dy=f^\prime(x)\times dx
dy=f′(x)×dx
d
y
dy
dy就是函数的微分，我们可以发现函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积。
f
′
(
x
)
=
d
y
d
x
f^\prime(x)=\frac {dy}{dx}
f′(x)=dxdy
f
′
(
x
)
f^\prime(x)
f′(x)即微商。
微分的运算法则和导数的运算法则类似。
不定积分
-
设 f f f和 F F F在区间 I I I上有定义，若
F ′ ( x ) = f ( x ) , x ∈ I F^\prime (x)=f(x),x\in I F′(x)=f(x),x∈I
则称 F F F为 f f f在区间 I I I的一个原函数。 -
若函数 f f f在区间 I I I上连续，则 f f f在 I I I上存在原函数。
初等函数是连续函数，所以每一个初等函数都有原函数。 -
设 F F F是 f f f在区间 I I I上的一个原函数，则
F + C F+C F+C也是一个原函数，C为任意常量函数。
证：
[ F ( x ) + C ] ′ = F ′ ( x ) = f ( x ) [F(x)+C]^\prime=F^\prime(x)=f(x) [F(x)+C]′=F′(x)=f(x)
定义
函数
f
f
f在区间
I
I
I上的全体原函数称为
f
f
f在
I
I
I上的不定积分，记做：
∫
f
(
x
)
d
x
\int f(x)dx
∫f(x)dx
积分和微分互为逆运算。
我们令
y
=
∫
f
(
x
)
d
x
y=\int f(x)dx
y=∫f(x)dx
y
y
y是原函数，所以有
y
′
=
f
(
x
)
y^\prime=f(x)
y′=f(x)
∴
y
′
=
d
y
d
x
=
f
(
x
)
\therefore y^\prime =\frac {dy}{dx}=f(x)
∴y′=dxdy=f(x)
∴
d
y
=
f
(
x
)
d
x
\therefore dy=f(x)dx
∴dy=f(x)dx
∴
∫
d
y
=
∫
f
(
x
)
d
x
=
y
\therefore \int dy=\int f(x)dx=y
∴∫dy=∫f(x)dx=y
即
∫
d
y
=
y
即\int dy=y
即∫dy=y
由上面定义可知，不定积分和原函数是整体和个体的关系，所以
∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
\int f(x)dx=F(x)+C
∫f(x)dx=F(x)+C
C为积分常数，可以取任一实数。
积分表
因为积分和微分互为逆运算，那么我们将导数表反过来看就是积分表。
其中较为特殊的
∫
d
x
1
+
x
2
=
a
r
c
t
a
n
x
+
C
\int \frac {dx}{1+x^2}=arctan x+C
∫1+x2dx=arctanx+C
∫
d
x
1
−
x
2
=
a
r
c
s
i
n
x
+
C
\int \frac {dx}{\sqrt1-x^2}=arcsin x+C
∫1
−x2dx=arcsinx+C
arctan等为反三角函数，三角函数是度数
⟶
\longrightarrow
⟶值,反三角函数是值
⟶
\longrightarrow
⟶度数。
例如
s
i
n
(
π
2
)
=
1
,
sin(\frac{\pi}{2})=1,
sin(2π)=1,那么
a
r
c
s
i
n
(
1
)
=
π
2
arcsin(1)=\frac{\pi}{2}
arcsin(1)=2π
不定积分的线性运算法则：
∫
(
∑
i
=
1
n
k
i
f
i
(
x
)
)
d
x
=
∑
i
=
1
n
(
k
i
∫
f
i
(
x
)
d
x
)
\int (\sum ^{n}_{i=1}k_if_i(x))dx=\sum^n_{i=1}(k_i\int f_i(x)dx)
∫(i=1∑nkifi(x))dx=i=1∑n(ki∫fi(x)dx)
就是常数可以提出来。通过求导可以轻松证明。
换元积分和分部积分
第一换元积分
由于证明过程有点冗杂，我们直接看例题。
求
∫
t
a
n
x
d
x
\int tan x dx
∫tanxdx
解：
∵
∫
t
a
n
x
d
x
=
∫
s
i
n
x
c
o
s
x
d
x
=
∫
−
(
c
o
s
x
)
′
c
o
s
x
d
x
\because \int tanxdx=\int \frac{sinx}{cosx}dx=\int \frac {-(cosx)^\prime}{cosx}dx
∵∫tanxdx=∫cosxsinxdx=∫cosx−(cosx)′dx
根据不定积分的线性运算法则：
∫
−
(
c
o
s
x
)
′
c
o
s
x
d
x
=
−
∫
(
c
o
s
x
)
′
c
o
s
x
d
x
\int \frac {-(cosx)^\prime}{cosx}dx=-\int \frac {(cosx)^\prime}{cosx}dx
∫cosx−(cosx)′dx=−∫cosx(cosx)′dx
令
u
=
c
o
s
x
u=cosx
u=cosx
∴
∫
(
c
o
s
x
)
′
c
o
s
x
d
x
=
∫
(
u
)
′
u
d
u
=
∫
1
u
d
u
=
−
l
n
∣
u
∣
d
u
+
C
=
−
l
n
∣
c
o
s
x
∣
+
C
\therefore \int \frac {(cosx)^\prime}{cosx}dx=\int \frac {(u)^\prime}{u}du=\int \frac {1}{u}du=-ln|u|du+C=-ln|cosx|+C
∴∫cosx(cosx)′dx=∫u(u)′du=∫u1du=−ln∣u∣du+C=−ln∣cosx∣+C
第二换元积分
求
∫
d
u
u
+
u
3
\int \frac{du}{\sqrt u+\sqrt [3]{u}}
∫u
+3u
du
解：
令
u
=
x
6
u=x^6
u=x6
∴
∫
d
u
u
+
u
3
=
∫
6
x
5
x
3
+
x
2
d
x
=
6
∫
(
x
2
−
x
+
1
−
1
x
+
1
)
d
x
\therefore \int \frac{du}{\sqrt u+\sqrt [3]{u}}=\int \frac{6x^5}{x^3+x^2}dx=6\int (x^2-x+1-\frac{1}{x+1})dx
∴∫u
+3u
du=∫x3+x26x5dx=6∫(x2−x+1−x+11)dx
想必现在很好积分了，最后还原回去即可、
我们发现第一换元就是将积分的换到微分里面去，第二换元就是微分的换的积分里面去、有些题目可以2种方法均可，这里不做赘述。
分部积分
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime
(uv)′=u′v+uv′
根据导数乘法的运算法则，我们容易得到：
分部积分公式
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
\int udv=uv-\int vdu
∫udv=uv−∫vdu
我们来用一用。
求
∫
x
c
o
s
x
d
x
\int xcosxdx
∫xcosxdx
解：
通过换元积分我们有：
∫
x
c
o
s
x
d
x
=
∫
x
d
(
s
i
n
x
)
\int xcosxdx=\int xd(sinx)
∫xcosxdx=∫xd(sinx)
根据分部积分公式，得到：
∫
x
d
(
s
i
n
x
)
=
s
i
n
x
×
x
−
∫
s
i
n
x
d
x
=
x
s
i
n
x
+
c
o
s
x
+
C
\int xd(sinx)=sinx\times x-\int sinxdx=xsinx+cosx+C
∫xd(sinx)=sinx×x−∫sinxdx=xsinx+cosx+C
定积分
定积分的几何意义即是所围成的曲边梯形的面积。
我们可以这样来看：
∫
a
b
f
(
x
)
×
d
x
\int ^b _a f(x)\times dx
∫abf(x)×dx
f
(
x
)
×
d
x
f(x)\times dx
f(x)×dx就是长乘上宽，即小矩形的面积，全部的小矩形和在一起就是曲边梯形的面积了。
牛顿-莱布尼茨公式
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
∣
a
b
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
\int ^b _a f(x) dx=F(x)\Big\rvert^b _a=F(b)-F(a)
∫abf(x)dx=F(x)∣∣∣ab=F(b)−F(a)
即a~b的定积分就是原函数的函数值
F
(
b
)
−
F
(
a
)
F(b)-F(a)
F(b)−F(a)
利用定积分，我们来严格地证明圆的面积。
我们只需得到四分之一圆的面积即可，根据的圆方程得：
x
2
+
y
2
=
r
2
x^2+y^2=r^2
x2+y2=r2
∴
y
=
r
2
−
x
2
\therefore y=\sqrt{r^2-x^2}
∴y=r2−x2
∴
∫
0
r
r
2
−
x
2
d
x
=
(
1
2
r
2
a
r
c
s
i
n
(
x
r
)
+
x
r
2
−
x
2
)
∣
0
r
\therefore \int^r _0 \sqrt{r^2-x^2}dx=(\frac{1}{2}r^2arcsin(\frac{x}{r})+x\sqrt{r^2-x^2})\Big\rvert^r_0
∴∫0rr2−x2
dx=(21r2arcsin(rx)+xr2−x2
)∣∣∣0r
∴
=
π
r
2
4
−
0
=
π
r
2
4
\therefore =\frac{\pi r^2}{4}-0=\frac{\pi r^2}{4}
∴=4πr2−0=4πr2
即
S
=
π
r
2
S=\pi r^2
S=πr2