质数

一、概念

1.质数

如果一个数只有1和他本身两个因数，那这个数就是质数。
例：7 = 1 x 7，5 = 1 x 5。

2.合数

如果一个数除了1和他本身，还有其他因数，那这个数就是合数。
例：8 = 1 x 8 = 2 x 4，12 = 1 x 12 = 2 x 6 = 3 x 4。

1既不是质数，也不是合数

二、质数判定

1. O ( n ) O(\sqrt{n}) O(n ​)算法，暴力枚举

就是从2开始，一直到根号 n \sqrt{n} n ​，判断每一个数是不是n的因数。如果是的话n就不是质数了。

bool prime(int n){
	for(int i = 2; i * i <= n; i++){//这样能避免精度误差
		if(n % i == 0){
			return false;//找到了因数，就直接返回合数。
		}
	}
	return true;//没有找到其他因数，返回质数。
}

三、批量求质数

1.埃氏筛法

假如一个数是质数，那他的倍数（除了他本身） 都是 合数。
那我们可以用一个数组 p r i m e prime prime，用来记录一个数是不是质数。

int prime[MAXN];
int get_prime(int n){//返回值是质数的个数
	memset(n, true, sizeof n);
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(prime[i]){//如果i是质数
			cnt++;
			for(int j = 2; j * i <= n; j++){//枚举i的倍数
				prime[i * j] = false;
			}
		}
	}
	return cnt;
}

它的复杂度是 O ( n l o g n ) O(n log n) O(nlogn)，详情见文章：Eratosthenes筛法(埃式筛法)时间复杂度分析。

2.欧拉线性筛

                          欧拉欧拉欧拉！
                    欢迎欧拉再次登上c++的舞台！

回到正题。
看刚才的算法，我们发现重复的地方就在于一个合数可能被计算多次。
例如：24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6。被计算了8次！这明显浪费时间了。
所以，我们统一把合数写成如下形式：合数 = 质数 × i，也就是说把i的枚举倍数设定为质数，这样每个数都会只被判定一次了。

int prime[MAXN];
int get_prime(int n){//返回值是质数的个数
	memset(n, true, sizeof n);
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(prime[i]){//如果i是质数
			prime[++cnt] = i;//记录下质数
			for(int j = 1; j <= cnt; j++){//枚举i的倍数
				prime[i * prime[j]] = false;
			}
		}
	}
	return cnt;
}

值得一提的是，prime[++cnt] = i;这个语句必须在 j循环 的前面，不然所有质数的平方都逃走了。
时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)