4. 假设检验

基础回顾：

• 假设检验，用于判断一个结果是否在统计上是显著的、这个结果是否有机会发生。
• 显著性检验
• 原假设与备择假设

常把一个要检验的假设记作 H0,称为原假设（或零假设） (null hypothesis)

与H0对立的假设记作H1，称为备择假设(alternative hypothesis)

• 拟合优度Goodness of Fit，是指回归直线对观测值的拟合程度。

对非线性方程：

（1）计算残差平方和 Q =∑(y-y*)² 和 ∑y² ，其中，y 代表的是实测值，y* 代表的是预测值

（2）拟合度指标 R_New=1-(Q/∑y²)^1/2

角标new就是为了和线性回归方程的判定系数R2、adjusted R2进行区别。在对方程拟合程度的解释上，Rnew和R2、adjusted R2是等价的，其意义也相同。

对线性方程：

R² = ∑(y预测-y)²/∑(y实际-y)²，y是平均数。

如果R²=0.775，则说明变量y的变异中有77.5％是由变量X引起的。

当R²＝1时，表示所有的观测点全部落在回归直线上。

当R2=0时，表示自变量与因变量无线性关系。

• 独立性检验（属于卡方检验的一种）

它是根据频数判断两类因子彼此相关或相互独立的假设检验。

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为：

构造统计量：

K²越小，原假设H0成立的可能性越大；它越大，目标结论H1成立的可能性越大.）

步骤：

Mlib的假设检验：

• spark.mllib目前支持皮尔森卡方检测。
• 输入属性的类型决定拟合优度(goodness of fit)检测还是独立性检测。 拟合优度检测需要输入数据的类型是 vector，独立性检测需要输入数据的类型是Matrix。
• import org.apache.spark.mllib.stat.Statistics._ ; Statistics 的 chiSqTest 方法用来做检测，当输入 vector和Matrix 时不同的检验。

import org.apache.spark.SparkContext

import org.apache.spark.mllib.linalg._

import org.apache.spark.mllib.regression.LabeledPoint

import org.apache.spark.mllib.stat.Statistics._

// 作皮尔森拟合优度检测

val vec: Vector =Vectors.dense(1.0, 2.0, 3.0)

val goodnessOfFitTestResult = Statistics.chiSqTest(vec)

println(goodnessOfFitTestResult) 

// 作皮尔森独立性检测

val mat: Matrix =Matrices.dense(3,2,Array(9.0,1.0,2.0,3.0,8.0,6.0))

val independenceTestResult = Statistics.chiSqTest(mat)

println(independenceTestResult) 

5.  随机数生成

spark.mllib 支持生成随机的RDD, RDD的独立同分布(iid)的值来自于给定的分布：均匀分布、标准正太分布、泊松分布。

例子：用标准正态分布生成一个随机的双精度RDD

import org.apache.spark.mllib.random.RandomRDDs._

val u = normalRDD(sc, 1000000L, 10)    // 生成了一个10个RDD分区的百万个随机数

val v = u.map(x => 1.0 + 2.0 * x)          //把标准正态分布产生的随机数map到N(1,4)的正态分布

6. 核密度估计

http://blog.163.com/zhuandi_h/blog/static/1802702882012111092743556/

核密度估计可以用来估计未知的密度函数，属于非参数检验方法。

假设我们有n个数  ，要计算某个数X的概率密度有多大， 可以通过下面的核密度估计方法估计。

  K为核密度函数，h为窗宽。

• 原理比较简单，在我们知道某一事物的概率分布的情况下

如果某一个数在观察中出现了，我们认为这个数的概率密度很大，和这个数近的数的概率密度也比较大；而那些离这个数远的数的概率密度会比较小。

• 基于这种想法，针对观察中的第一个数，我们可以用 K 去拟合我们想象中的那个远小近大概率密度。

对每一个观察数拟合出的多个概率密度分布函数，取平均。 如果某些数是比较重要的，则可以取加权平均。

• 核密度的估计并不是找到真正的分布函数。
• 在 MLlib 中，仅仅支持以 高斯核（正态分布） 做核密度估计：

• KernelDensity 的 estimate 方法

import org.apache.spark.mllib.stat.KernelDensity

import org.apache.spark.rdd.RDD

val data: RDD[Double] = ... // an RDD of sample data

val kd = new KernelDensity()

  .setSample(data)

  .setBandwidth(3.0)

val densities = kd.estimate(Array(-1.0, 2.0, 5.0))