将与原点距离大于$R$的点缩为一个点$t$，即终点
做法1
定义$f_{i}$表示从$i$到$t$的期望步数，即$f_{i}=\begin{cases}\sum_{(i,j)\in E}w_{(i,j)}f_{j}+1&(j\ne t)\\0&(j=t)\end{cases}$
直接对其高斯消元，时间复杂度为$o(n^{3}m^{3})$
做法2
事实上，如果将其按照顺序从上到下、从左到右依次编号，并依次消元，编号为$x$的行在（消元的）任意时刻，都仅有$[x-m,x+m]$这些列的元素非0
由此，显然在消元时，仅需要枚举其后$m$列，且每一列仅需枚举$o(m)$个元素，即做到$o(n^{2}m^{2})$的复杂度
做法3
对于所有元素，若其上方的格子不存在，即将其作为一个变量，否则通过其上方的格子的方程即可确定其的表示，最终即仅有$o(m)$个变量，以及下方不存在格子的位置未保证其成立
在$o(nm^{2})$的时间内推出此式子，并对$m$元解方程，复杂度为$o(m^{3})$
类似地，也可以从左到右去枚举，做到$o(n^{2}m)$的复杂度
综上，即可做到$o(nm\min(n,m)))$的复杂度
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 105
4 #define M 8005
5 #define mod 1000000007
6 int V,R,a,b,c,d,id[N][N],A[M][M],ans[M];
7 int pow(int n,int m){
8 int s=n,ans=1;
9 while (m){
10 if (m&1)ans=1LL*ans*s%mod;
11 s=1LL*s*s%mod;
12 m>>=1;
13 }
14 return ans;
15 }
16 void guess(){
17 for(int i=1;i<=V;i++){
18 int x=pow(A[i][i],mod-2);
19 for(int j=i;j<=V+1;j++)A[i][j]=1LL*A[i][j]*x%mod;
20 for(int j=i+1;j<=min(i+2*R,V);j++){
21 if (A[j][i]){
22 int x=A[j][i];
23 for(int k=i;k<=min(i+2*R,V);k++)A[j][k]=(A[j][k]-1LL*A[i][k]*x%mod+mod)%mod;
24 A[j][V+1]=(A[j][V+1]-1LL*A[i][V+1]*x%mod+mod)%mod;
25 }
26 }
27 }
28 for(int i=V;i;i--){
29 for(int j=i+1;j<=V;j++)A[i][V+1]=(A[i][V+1]-1LL*A[i][j]*ans[j]%mod+mod)%mod;
30 ans[i]=A[i][V+1];
31 }
32 }
33 int main(){
34 scanf("%d%d%d%d%d",&R,&a,&b,&c,&d);
35 int inv=pow(a+b+c+d,mod-2);
36 a=1LL*a*inv%mod,b=1LL*b*inv%mod,c=1LL*c*inv%mod,d=1LL*d*inv%mod;
37 for(int i=-R;i<=R;i++)
38 for(int j=-R;j<=R;j++)
39 if (i*i+j*j<=R*R)id[i+R][j+R]=++V;
40 for(int i=-R;i<=R;i++)
41 for(int j=-R;j<=R;j++){
42 if (i*i+j*j<=R*R){
43 int ii=i+R,jj=j+R;
44 if ((i-1)*(i-1)+j*j<=R*R)A[id[ii][jj]][id[ii-1][jj]]=(A[id[ii][jj]][id[ii-1][jj]]+mod-a)%mod;
45 if (i*i+(j-1)*(j-1)<=R*R)A[id[ii][jj]][id[ii][jj-1]]=(A[id[ii][jj]][id[ii][jj-1]]+mod-b)%mod;
46 if ((i+1)*(i+1)+j*j<=R*R)A[id[ii][jj]][id[ii+1][jj]]=(A[id[ii][jj]][id[ii+1][jj]]+mod-c)%mod;
47 if (i*i+(j+1)*(j+1)<=R*R)A[id[ii][jj]][id[ii][jj+1]]=(A[id[ii][jj]][id[ii][jj+1]]+mod-d)%mod;
48 }
49 }
50 for(int i=1;i<=V;i++)A[i][i]=A[i][V+1]=1;
51 guess();
52 printf("%d",ans[id[R][R]]);
53 }
View Code
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 105
4 #define M 8005
5 #define mod 1000000007
6 int V,VV,R,a,b,c,d,sum,id[N][N],g[M][N<<1],A[M][N<<1],ans[M];
7 int pow(int n,int m){
8 int s=n,ans=1;
9 while (m){
10 if (m&1)ans=1LL*ans*s%mod;
11 s=1LL*s*s%mod;
12 m>>=1;
13 }
14 return ans;
15 }
16 void guess(){
17 for(int i=1;i<=V;i++){
18 int k=-1;
19 for(int j=i;j<=V;j++)
20 if (A[j][i]){
21 k=j;
22 break;
23 }
24 if (k!=i){
25 for(int j=i;j<=V+1;j++)swap(A[i][j],A[k][j]);
26 }
27 int x=pow(A[i][i],mod-2);
28 for(int j=i;j<=V+1;j++)A[i][j]=1LL*A[i][j]*x%mod;
29 for(int j=i+1;j<=V;j++)
30 if (A[j][i]){
31 int x=A[j][i];
32 for(int k=i;k<=V+1;k++)A[j][k]=(A[j][k]-1LL*A[i][k]*x%mod+mod)%mod;
33 }
34 }
35 for(int i=V;i;i--){
36 for(int j=i+1;j<=V;j++)A[i][V+1]=(A[i][V+1]-1LL*A[i][j]*ans[j]%mod+mod)%mod;
37 ans[i]=A[i][V+1];
38 }
39 }
40 int main(){
41 scanf("%d%d%d%d%d",&R,&a,&b,&c,&d);
42 int inv=pow(a+b+c+d,mod-2);
43 a=1LL*a*inv%mod,b=1LL*b*inv%mod,c=1LL*c*inv%mod,d=1LL*d*inv%mod;
44 for(int i=-R;i<=R;i++)
45 for(int j=-R;j<=R;j++)
46 if (i*i+j*j<=R*R)id[i+R][j+R]=++V;
47 V=0;
48 for(int i=-R;i<=R;i++)
49 for(int j=-R;j<=R;j++)
50 if ((i*i+j*j<=R*R)&&((i-1)*(i-1)+j*j>R*R))g[id[i+R][j+R]][++V]=1;
51 for(int i=-R;i<=R;i++)
52 for(int j=-R;j<=R;j++)
53 if ((i*i+j*j<=R*R)&&((i-1)*(i-1)+j*j<=R*R)){
54 int ii=i+R,jj=j+R;
55 memcpy(g[id[ii][jj]],g[id[ii-1][jj]],sizeof(g[id[ii][jj]]));
56 g[id[ii][jj]][V+1]=(g[id[ii][jj]][V+1]+mod-1)%mod;
57 if ((i-2)*(i-2)+j*j<=R*R){
58 for(int k=1;k<=V+1;k++)g[id[ii][jj]][k]=(g[id[ii][jj]][k]-1LL*a*g[id[ii-2][jj]][k]%mod+mod)%mod;
59 }
60 if ((i-1)*(i-1)+(j-1)*(j-1)<=R*R){
61 for(int k=1;k<=V+1;k++)g[id[ii][jj]][k]=(g[id[ii][jj]][k]-1LL*b*g[id[ii-1][jj-1]][k]%mod+mod)%mod;
62 }
63 if ((i-1)*(i-1)+(j+1)*(j+1)<=R*R){
64 for(int k=1;k<=V+1;k++)g[id[ii][jj]][k]=(g[id[ii][jj]][k]-1LL*d*g[id[ii-1][jj+1]][k]%mod+mod)%mod;
65 }
66 int x=pow(c,mod-2);
67 for(int k=1;k<=V+1;k++)g[id[ii][jj]][k]=1LL*g[id[ii][jj]][k]*x%mod;
68 }
69 for(int i=-R;i<=R;i++)
70 for(int j=-R;j<=R;j++)
71 if ((i*i+j*j<=R*R)&&((i+1)*(i+1)+j*j>R*R)){
72 int ii=i+R,jj=j+R;
73 memcpy(A[++VV],g[id[ii][jj]],sizeof(g[id[ii][jj]]));
74 if ((i-1)*(i-1)+j*j<=R*R){
75 for(int k=1;k<=V+1;k++)A[VV][k]=(A[VV][k]-1LL*a*g[id[ii-1][jj]][k]%mod+mod)%mod;
76 }
77 if (i*i+(j-1)*(j-1)<=R*R){
78 for(int k=1;k<=V+1;k++)A[VV][k]=(A[VV][k]-1LL*b*g[id[ii][jj-1]][k]%mod+mod)%mod;
79 }
80 if ((i+1)*(i+1)+j*j<=R*R){
81 for(int k=1;k<=V+1;k++)A[VV][k]=(A[VV][k]-1LL*c*g[id[ii+1][jj]][k]%mod+mod)%mod;
82 }
83 if (i*i+(j+1)*(j+1)<=R*R){
84 for(int k=1;k<=V+1;k++)A[VV][k]=(A[VV][k]-1LL*d*g[id[ii][jj+1]][k]%mod+mod)%mod;
85 }
86 A[VV][V+1]=mod+1-A[VV][V+1];
87 }
88 guess();
89 sum=g[id[R][R]][V+1];
90 for(int i=1;i<=V;i++)sum=(sum+1LL*g[id[R][R]][i]*ans[i])%mod;
91 printf("%d",sum);
92 }
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