特征函数的作用
特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于：
- 可将卷积运算化成乘法运算；
- 可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；
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可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题 ；
特征函数的定义
设 X X X是一随机变量，称 φ ( t ) = E ( e i t X ) \varphi(t)=\mathbb{E}(e^{itX}) φ(t)=E(eitX)为 X X X的特征函数，其中 i = − 1 i=\sqrt{-1} i=−1 是虚数单位。
- 当 X X X为离散随机变量时， φ ( t ) = ∑ k = 1 ∞ e i t x k p k \varphi(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}e^{itx_k}p_k φ(t)=k=1∑∞eitxkpk
- 当 X X X为连续随机变量时， φ ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ e i t x p ( x ) d x \varphi(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}e^{itx}p(x)dx φ(t)=∫−∞+∞eitxp(x)dx
特征函数的计算中用到复变函数，因此注意：
- 欧拉公式： e i t x = cos ( t x ) + i sin ( t x ) e^{itx}=\cos(tx)+i\sin(tx) eitx=cos(tx)+isin(tx)
- 复数的共轭： a + b i ‾ = a − b i \overline{a+bi}=a-bi a+bi=a−bi
- 复数的模： ∣ a + b i ∣ = a 2 + b 2 |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} ∣a+bi∣=a2+b2
特征函数的性质
- 性质1： ∣ φ ( t ) ∣ ≤ φ ( 0 ) = 1 |\varphi(t)|\le\varphi(0)=1 ∣φ(t)∣≤φ(0)=1
- 性质2： φ ( − t ) = φ ( t ) ‾ \varphi(-t)=\overline{\varphi(t)} φ(−t)=φ(t)
- 性质3： φ a X + b ( t ) = e i b t φ X ( a t ) \varphi_{aX+b}(t)=e^{ibt}\varphi_{X}(at) φaX+b(t)=eibtφX(at)
- 性质4：若 X X X与 Y Y Y独立，则 φ X + Y ( t ) = φ X ( t ) φ Y ( t ) \varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t) φX+Y(t)=φX(t)φY(t)
- 性质5： φ ( k ) ( 0 ) = i k E ( X ) \varphi^{(k)}(0)=i^k\mathbb{E}^(X) φ(k)(0)=ikE(X)