题意:一棵带边权的树,边权可单边修改,问初始时和每次修改后有多少条路径$\gcd=1$
首先考虑用反演求答案,设$f(n)$为路径$\gcd=n$的路径条数,$g(n)$为路径$\gcd$是$n$倍数的路径条数,那么$g(n)=\sum\limits_{n|d}f(d)$,所以$f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu\left(\frac dn\right)g(d)$,答案就是$f(1)=\sum\limits_{d}\mu(d)g(d)$
我们现在要求$g(d)$,先考虑没有修改怎么做,我们对每个$d$预处理出是$d$倍数的那些边(这里可以直接枚举边权的约数,因为边权$\leq10^6$)用这些边构图,答案就是每个连通块的$\binom{siz}2$之和,这里可以用并查集做
加上修改就只预处理那些不被修改的边,先用这些不被修改的边建并查集,每次对第$i$个询问,修改第$1\cdots i$条边的边权后再把这至多$q$条边插进并查集中,再统计答案
总时间复杂度貌似是$O(wq^2\log n)$???但是加一些小优化好像可以过...
#include<stdio.h> #include<vector> using namespace std; typedef long long ll; const int T=1000000; int pr[T+10],mu[T+10]; bool np[T+10]; void sieve(){ int i,j,M=0; mu[1]=1; for(i=2;i<=T;i++){ if(!np[i]){ pr[++M]=i; mu[i]=-1; } for(j=1;j<=M&&i*pr[j]<=T;j++){ np[i*pr[j]]=1; if(i%pr[j]==0)break; mu[i*pr[j]]=-mu[i]; } } } struct edge{ int x,y,w; }E[100010]; struct ask{ int i,v; }Q[110]; bool del[100010],us[T+10]; vector<int>G[T+10]; ll C; int fa[100010],dep[100010],siz[100010],M; struct oper{ int u,f,d,s; oper(int _u=0,int _f=0,int _d=0,int _s=0){u=_u;f=_f;d=_d;s=_s;} }stk[200010]; void add(int u){ stk[++M]=oper(u,fa[u],dep[u],siz[u]); } int get(int x){ while(x!=fa[x])x=fa[x]; return x; } void merge(int x,int y){ x=get(x); y=get(y); if(x==y)return; if(dep[x]<dep[y])swap(x,y); add(x); add(y); fa[y]=x; if(dep[x]==dep[y])dep[x]++; C+=(ll)siz[x]*siz[y]; siz[x]+=siz[y]; } void roll(){ int u=stk[M].u; fa[u]=stk[M].f; dep[u]=stk[M].d; siz[u]=stk[M].s; M--; } ll ans[110]; int val[100010]; int main(){ int n,q,i,j,k,tM; ll tC; sieve(); scanf("%d",&n); for(i=1;i<n;i++)scanf("%d%d%d",&E[i].x,&E[i].y,&E[i].w); scanf("%d",&q); for(i=1;i<=q;i++){ scanf("%d%d",&Q[i].i,&Q[i].v); del[Q[i].i]=1; } for(i=1;i<n;i++){ if(!del[i]){ for(j=1;j*j<=E[i].w;j++){ if(E[i].w%j==0){ G[j].push_back(i); if(j*j!=E[i].w)G[E[i].w/j].push_back(i); } } }else{ for(j=1;j*j<=E[i].w;j++){ if(E[i].w%j==0)us[j]=us[E[i].w/j]=1; } } } for(i=1;i<=q;i++){ for(j=1;j*j<=Q[i].v;j++){ if(Q[i].v%j==0)us[j]=us[Q[i].v/j]=1; } } for(i=1;i<=n;i++){ fa[i]=i; dep[i]=1; siz[i]=1; } for(i=1;i<=T;i++){ if(mu[i]&&!(G[i].empty()&&!us[i])){ C=0; M=0; for(int j:G[i])merge(E[j].x,E[j].y); tM=M; tC=C; for(j=1;j<=q;j++)val[Q[j].i]=E[Q[j].i].w; for(j=0;j<=q;j++){ val[Q[j].i]=Q[j].v; C=tC; if(us[i]){ for(k=1;k<=q;k++){ if(val[Q[k].i]%i==0)merge(E[Q[k].i].x,E[Q[k].i].y); } } ans[j]+=mu[i]*C; while(M>tM)roll(); } while(M)roll(); } } for(i=0;i<=q;i++)printf("%lld\n",ans[i]); }