目录
简介
原理
代码
引用资料
简介
费用流问题就是要求在所有最大流之中，找到费用最大/最小的问题。
下面重点讨论最小费用最大流。
原理
先给出大概的做法：
在残留网络上沿着最短路（边权即费用）增广，直到得到最大流（无法再增广），那么，假如图中没有负圈，这样的最大流的费用是最小的。
下面证明正确性：
假如存在具有相同流量比 \(f\) 费用更小的流 \(f'\) ，考察 \(f'-f\) ，可知它由若干个圈组成，因为 \(f'-f\) 的费用为负，故在这些圈中至少存在一个负圈。
也就是说，\(f\) 是最小费用流 \(\Leftrightarrow\) 残留网络中不存在负圈
基于上面的结论，可以利用归纳法证明上述做法的正确性。
- 对于流量为 \(0\) 的流 \(f_0\) ，残留网络即为原图，故只要不存在负圈，那么 \(f_0\) 就是最小费用流。
- 下证：若流量为 \(i\) 的流 \(f_i\) 为最小费用流，则其通过 \(s\) 到 \(t\) 的最短路增广得到的 \(f_{i+1}\) 是流量为 \(i+1\) 的最小费用流。
假设存在 \(f_{i+1}'\) 满足 \(f_{i+1}' < f_{i+1}\) ，而 \(f_{i+1}-f_i\) 对应的路径又是 \(s\rightarrow t\) 的最短路，所以 \(f_{i+1}'-f_i\) 对应的路径一定存在负圈，与 \(f_i\) 为最小费用流矛盾。
那么，如果图中存在负圈，如何解决呢？
此时我们需要对问题进行转化，从 \(t\rightarrow s\) 连一条容量为 \(∞\) ，费用为 \(-∞\) 的虚边得到无源汇流。注意到如果存在增广路，则一定可以通过这条路径以及虚边使得费用更小，反之，如果不存在增广路，则在原图相应地得到了最小费用最大流。
下面只需求无源汇流的最小费用。
我们采取 capacity scaling 解决这个问题：
它利用了流本身的性质，实现减少增广的次数的目的。
这个性质是：将原图中每条边的容量乘二后，最小费用流每条边的流量分别乘二。
因此，在求出 \(\lfloor \frac{c(u,v)}{2^k} \rfloor\) 为边容量的最小费用流 \(f\) 后，将 \(f\) 对应的边容量乘二，然后对每条二进制中相应位为 \(1\) 的边进行容量加一即可得到 \(\lfloor \frac{c(u,v)}{2^{k-1}} \rfloor\) ，最后我们即可得到相应边 \((u,v)\) 容量为 \(c(u,v)\) 对应的最小费用流。
复杂度：如果采用 SPFA ，那么最坏复杂度是 \(O(NM^2logU)\) 。（\(U\) 为边的最大容量）
使用 Dijkstra 的复杂度可能会优秀一点，但是编写难度较大，可以看看下面引用资料 1，介绍较为详细。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,y=1;char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') y=-1;c=getchar();}
while (c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
return x*y;
}
const int N=205, M=10005<<1, INF=0x3f3f3f3f;
int n, m, S, T;
struct node{
int to, c, rc, w, next; // c 表示容量（进行 capacity scaling ），rc 表示原图容量，w 表示费用。
}e[M];
int h[N], tot;
void add(int u, int v, int rc, int w){
e[tot].to=v, e[tot].rc=rc, e[tot].w=w, e[tot].next=h[u], h[u]=tot++;
e[tot].to=u, e[tot].rc=0, e[tot].w=-w, e[tot].next=h[v], h[v]=tot++;
}
int d[N], pre[N];
bool vis[N];
int q[N];
void spfa(int s){
memset(vis, false, sizeof vis);
memset(d, 0x3f, sizeof d);
memset(pre, -1, sizeof pre);
int tt=0, hh=0;
d[s]=0, vis[s]=true, q[tt++]=s;
while(tt!=hh){
int hd=q[hh++]; if(hh==N) hh=0;
vis[hd]=false;
for(int i=h[hd]; ~i; i=e[i].next){
int go=e[i].to;
if(e[i].c && d[go]>d[hd]+e[i].w){
d[go]=d[hd]+e[i].w;
pre[go]=i;
if(!vis[go]){
vis[go]=true;
q[tt++]=go; if(tt==N) tt=0;
}
}
}
}
}
void add_one_cap(int id){
// 优化，有流量的话，不可能关于这条边还存在负圈，直接更新后 return。
if(e[id].c){
e[id].c++;
return;
}
int u=e[id^1].to, v=e[id].to; // from and to
spfa(v);
if(d[u]<INF && d[u]+e[id].w<0){
e[id^1].c++;
int x=u;
while(x!=v){
int t=pre[x];
e[t].c--, e[t^1].c++;
x=e[t^1].to;
}
}else e[id].c++;
}
int main(){
memset(h, -1, sizeof h);
n=read(), m=read(), S=read(), T=read();
while(m--){
int u, v, rc, w; u=read(), v=read(), rc=read(), w=read();
add(u, v, rc, w);
}
add(T, S, INF, -INF);
for(int i=10; i>=0; i--){
for(int j=0; j<tot; j++) e[j].c<<=1;
for(int j=0; j<tot; j+=2) if(e[j].rc>>i&1) add_one_cap(j); // 传入边的编号 id，进行 +1 容量操作。
}
int cost=0;
for(int i=0; i<tot-2; i+=2) cost+=e[i].w*e[i^1].c;
cout<<e[tot-1].c<<' '<<cost<<endl;
return 0;
}
当然，如果题目中不存在负圈，那么直接使用 SPFA 即可。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5005, M=50010<<1, INF=0x3f3f3f3f;
int n, m, S, T;
struct node{
int to, c, w, next;
}e[M];
int h[N], tot;
void add(int u, int v, int c, int w){
e[tot].to=v, e[tot].c=c, e[tot].w=w, e[tot].next=h[u], h[u]=tot++;
e[tot].to=u, e[tot].c=0, e[tot].w=-w, e[tot].next=h[v], h[v]=tot++;
}
int d[N], q[N], lim[N], pre[N];
bool vis[N];
bool spfa(){
memset(d, 0x3f, sizeof d); memset(lim, 0, sizeof lim);
int tt=0, hh=0;
q[tt++]=S, d[S]=0, lim[S]=INF, vis[S]=true;
while(tt!=hh){
int hd=q[hh++]; if(hh==N) hh=0;
vis[hd]=false;
for(int i=h[hd]; ~i; i=e[i].next){
int go=e[i].to;
if(d[go]>d[hd]+e[i].w && e[i].c){
d[go]=d[hd]+e[i].w;
pre[go]=i;
lim[go]=min(lim[hd], e[i].c);
if(!vis[go]){
vis[go]=true;
q[tt++]=go; if(tt==N) tt=0;
}
}
}
}
return lim[T]>0;
}
void EK(int &flow, int &cost){
flow=cost=0;
while(spfa()){
int t=lim[T];
flow+=t, cost+=t*d[T];
for(int i=T; i!=S; i=e[pre[i]^1].to){
e[pre[i]].c-=t, e[pre[i]^1].c+=t;
}
}
}
int main(){
memset(h, -1, sizeof h);
cin>>n>>m>>S>>T;
while(m--){
int u, v, c, w; cin>>u>>v>>c>>w;
add(u, v, c, w);
}
int flow, cost;
EK(flow, cost);
cout<<flow<<' '<<cost<<endl;
return 0;
}