Poetize6: IncDec Sequence

2022-12-10 22:57:44

3043: IncDec Sequence

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 233 Solved: 132
[Submit][Status]

Description

给定一个长度为n的数列{a1,a2...an}，每次可以选择一个区间[l,r]，使这个区间内的数都加一或者都减一。
问至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样,并求出在保证最少次数的前提下,最终得到的数列有多少种。

Input

第一行一个正整数n
接下来n行,每行一个整数,第i+1行的整数表示ai。
。

Output

第一行输出最少操作次数
第二行输出最终能得到多少种结果

Sample Input

4
1
1
2
2

Sample Output

1
2

HINT

对于100%的数据，n=100000，0<=ai<2147483648

Source

Poetize6

题解：

为何我想到了差分序列还是没有想到构造解T_T我还以为我想复杂了。。。

出题人：

对于带有“将一段区间内的每个数全部加上某个值”这种操作的题目，通常考虑差分原数列以简化情况，将对一段区间的操作转化为对某两个特定数的操作。

我们定义d_1 = a_1, d_i = a_i - a_{i-1} ( 2 ≤ i ≤ n ), d_{n+1} = 0（事实上，稍后我们会看到d_1和d_{n+1}的值并不重要），，可以发现，原题中的“将[l,r]内的数都加一或都减一”将对应“将d_l + 1，将d_{r+1} - 1”（或反之）的操作。

显然，题目中要求的a数列中的所有数全部相等的条件等同于使d_i = 0 ( 2 ≤ i ≤ n )，最后数列中的数即为d_1，而题目中的操作允许我们把d数列中的某个数+1，某个数-1。要将d数列中第二项至第n项全部变为0并使操作次数最少，首先我们将每个负数和每个正数配对执行操作，设d数列中第2至第n项所有正数分别求和得到的值为p，负数分别求和得到的值的*绝对值*为q，这一步的操作次数即为min{p,q}。此时还剩余和的绝对值为abs(p-q)的数没有变为0，每次操作我们可以将其与d_1或d_{n+1}配对进行操作，操作次数为abs(p-q)，容易看出，最终d_1的可能取值有abs(p-q)+1种。因此，第一问的答案即为max{p,q}，第二问的答案即为abs(p-q)+1。

再一次跪到了构造题上T_T

代码：

 #include<cstdio>

 #include<cstdlib>

 #include<cmath>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<iostream>

 #include<vector>

 #include<map>

 #include<set>

 #include<queue>

 #include<string>

 #define inf 1000000000

 #define maxn 1000000+100

 #define maxm 500+100

 #define eps 1e-10

 #define ll long long

 #define pa pair<int,int>

 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)

 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)

 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)

 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)

 #define mod 1000000007

 using namespace std;

 inline int read()

 {

     int x=,f=;char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}

     while(ch>=''&&ch<=''){x=*x+ch-'';ch=getchar();}

     return x*f;

 }

 ll n,a[];

 int main()

 {

     freopen("input.txt","r",stdin);

     freopen("output.txt","w",stdout);

     n=read();int x=read(),y,z;

     for2(i,,n)

     {

         y=read();z=y-x;

         a[z>=?:]+=abs(z);

         x=y;

     }

     printf("%lld\n",max(a[],a[]));

     printf("%lld\n",abs(a[]-a[])+);

     return ;

 }

码农公寓