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前言
今天讲的是，有关sympy的微积分部分的知识。
对应官网的知识：Calculus
（一）求导数-diff()
1.一阶求导-diff()
（1）说明：
语法是：diff(expr,x)
（2）源代码：
from sympy import *
# 初始化
x = symbols('x')
# 表达式
expr1 = cos(x)
expr2 = exp(x**2)
# 求导
r1 = diff(expr1, x)
r2 = diff(expr2, x)
print("r1:", r1)
print("r2:", r2)
（3）输出：
\(\cos(x)\) --> \(-\sin(x)\)
\(e^{x^2}\) --> \(2xe^{x^2}\)
2.多阶求导-diff()
（1）说明：
多阶求导同样的使用diff()，其有两种形式
- 带参数中，添加几个x,就是对x的几次求导。diff(expr, x, x,x……)
- 用数字来控制所求的阶数：diff(expr, x, n)
（2）源代码：
from sympy import *
# 初始化
x = symbols('x')
# 表达式
expr1 = x**4
# 第一种形式多阶求导
r1 = diff(expr1, x)
r2 = diff(expr1, x, x)
r3 = diff(expr1, x, x, x)
print("="*30)
print(r1)
print(r2)
print(r3)
# 第二种形式多阶求导
r4 = diff(expr1, x, 1)
r5 = diff(expr1, x, 2)
r6 = diff(expr1, x, 3)
print("="*30)
print(r4)
print(r5)
print(r6)
（3）输出：
\(x^4\) --> \(24x\)
3.求偏导数-diff()
（1）说明：
diff()也可以单独对一个变量求导，这便是偏导数。
（2）源代码：
from sympy import *
# 初始化
x, y, z = symbols('x y z')
# 表达式
expr1 = exp(x*y*z)
# 求导
r1 = diff(expr1, x, y, y, z, z, z, z)
r2 = diff(expr1, x, 1, y, 2, z, 4)
print("r1:", r1)
print("r2:", r2)
print(latex(r1))
print(latex(r2))
（3）输出：
\(e^{xyz}\) --> \(x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}\)
（二）求积分-integrate()
（1）说明：
求积分有三种形式，并且都用的是integrate（）方法
- 求不定积分：integrate(expr, var)
- 求定积分：integrate(expr, (var, min, max))
- 求多重积分：integrate(expr, (var1, min, max),(var2,min,max))
（2）源代码：
from sympy import *
# 初始化
x, y = symbols('x y')
# 表达式
expr1 = cos(x)
expr2 = exp(-x)
expr3 = exp(-x**2-y**2)
# 求不定积分
r1 = integrate(expr1, x)
# 求定积分
r2 = integrate(expr2, (x, 0, oo))
# 求多重积分
r3 = integrate(expr3, (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))
print("r1:", r1)
print("r2:", r2)
print("r3:", r3)
（3）输出：
\(\cos{\left (x \right )}\)-->\(\sin{\left (x \right )}\)
\(\int_{0}^\infty{e^{- x}dx}\)-->\(1\)
\(\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{- x^{2} - y^{2}}dxdy\)-->\(\pi\)
（三）求极限-limit(）
（1）说明：
求极限使用limit()，其有下两种使用方法：
- 趋进某个点的极限：limit(expr, var, doit）
- 从侧边趋进某个值的极限：limit(expr, var,doit, "+") （左侧趋进同理）
注：sympy里，不可以使用无穷的趋进。
（2）源代码：
from sympy import *
# 初始化
x = symbols('x')
# 表达式
expr1 = sin(x)/x
expr2 = 1/x
# 求趋于某个值的极限
r1 = limit(expr1, x, 0)
# 正向趋进
r2 = limit(expr2, x, 0, '+')
# 负向趋进
r3 = limit(expr2, x, 0, '-')
print(r1)
print(r2)
print(r3)
（3）输出：
\(\lim_{x \to 0}\sin(x)/x\)-->\(1\)
\(\lim_{x \to 0^+}\)-->\(\infty\)
\(\lim_{x \to 0^-}\)-->\(-\infty\)
（四）级数展开-series(）
1.说明：
级数展开请使用：series(expr, x0, xn）,使用.removeO()去除尾数。
2.源代码：
from sympy import *
# 初始化
x = symbols('x')
# 表达式
expr1 = exp(sin(x))
# 级数展开
r1 = expr1.series(x, 0, 6)
# 去除尾数
r2 = expr1.series(x, 0, 6).removeO()
print(r1)
print(r2)
3.输出：
\(e^{\sin(x)}\)-->\(1 + x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{5}}{15} + O\left(x^{6}\right)\)
\(e^{\sin(x)}\)-->\(- \frac{x^{5}}{15} - \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{2}}{2} + x + 1\)