7.1 矩阵-数学定义

在线性代数中, 矩阵就是以行和列形式组织的矩形数字块。矩阵是向量的数组。

7.1.1 矩阵的维度和记法

矩阵的维度被定义为它包含了多少行和多少列。一个\(r \times c\)矩阵有r行， c列。下面是一个\(4 \times 3\)矩阵的例子：
\(\begin{bmatrix} 4 & 0 & 12 \\ -5 & 4 & 3 \\ 12 & -4/3 & -1 \\ 1/2 & 18 & 0 \\ \end{bmatrix}\)

黑色大写字母表示矩阵，如：M，A，R。需要引用矩阵的分量时，采用下标法，常用对应的斜体小写字母。如下\(3 \times 3\)矩阵所示：
\(\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{bmatrix}\)

7.1.2 方阵

行数和列数相同的矩阵称为方阵。
方阵的对角线元素就是方阵中行号和列号相同的元素。

对角矩阵

所有非对角线元素都是0，如：
\(\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}\)

单位矩阵

\(n\)维单位矩阵记作\(I_n\)，是\(n \times n\)矩阵，对角线元素都为1，其他元素为0。如，\(3 \times 3\)单位矩阵：
\(I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\)

7.1.3 向量做为矩阵使用

矩阵的行数和列数可以是任意正整数，当然也包括1。一个\(n\)维向量能被当作\(1 \times n\)矩阵或\(n \times 1\)矩阵。\(1 \times n\)矩阵称为行向量，\(n \times 1\)矩阵称为列向量。如：
\(\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}\)

7.1.4 转置

一个\(r \times c\)矩阵\(M\)。\(M\)的转置记作\(M^T\)，是一个\(c \times r\)矩阵(\(M_{ij}^T = M_{ji}\))，即沿着矩阵的对角线翻折。
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \\ \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 & 10\\ 2 & 5 & 8 & 11\\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ \end{bmatrix}\)

行列向量之间的转换

\(\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\end{bmatrix}^T\)

基本原理

• 对任意矩阵\(M\), \((M^T)^T = M\)
• 对于任意对角矩阵\(D\), 都有\(D^T = D\)，包括单位矩阵\(I\)也是如此。

7.1.5 标量和矩阵的乘法

矩阵\(M\)和标量\(k\)相乘，结果是一个和\(M\)维数相同的矩阵。记法如下：

\(kM = k \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} km_{11} & km_{12} & km_{13} \\ km_{21} & km_{22} & km_{23} \\ km_{31} & km_{32} & km_{33} \\ \end{bmatrix}\)

7.1.6 矩阵乘法

\(C = AB\)
\(c_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\)

如：
\(AB = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \\ \end{bmatrix}\)

乘法规则

• \(MI = IM = M\)
• 不满足交换律：\(AB \ne BA\)
• 结合律：\((AB)C = A(BC)\)
• 与标量的结合律：\((kA)B = k(AB) = A(kB)\)
• 转置: \((AB)^T = B^TA^T\)

7.2 矩阵 - 几何解释

一般来说，方阵能描述任意线性变换。

\(\begin{bmatrix}1 \\ -3 \\ 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ -3 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 4 \\ \end{bmatrix}\)

一般来说：任意向量\(v\)都能写为“扩展”形式：
\(v=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ y \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ z \\ \end{bmatrix}\)
或
\(v=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\)
注意，右边的单位向量就是\(x,y,z\)轴，用向量重写上面的等式，分别用\(p, g, r\)定义为指向\(+x, +y, +z\)方向的单位向量
\(v = xp + yp + zr\)

将向量表示为基向量的线性组和

用三个向量\(p, q, r\)来构建一个\(3 \times 3\)的矩阵\(M\)，可以得到如下公式

\(M=\begin{bmatrix}p \\ q \\ r \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}p_x & p_y & p_z \\ q_x & q_y & q_z \\ r_x & r_y & r_z \\ \end{bmatrix}\)

用一个向量乘以该矩阵，得到：
\(\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_x & p_y & p_z \\ q_x & q_y & q_z \\ r_x & r_y & r_z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}xp_x + yq_x + zr_x & xp_y + yq_y + zr_y & xp_z + yq_z + zr_z\end{bmatrix} = xp + yq + zr\)

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该向量就相当于执行了一次坐标转换。若有\(aM = b\)，我们就可以说，\(M\)将\(a\)转换到\(b\)。