【BZOJ-1492】货币兑换Cash DP + 斜率优化 + CDQ分治

1492: [NOI2007]货币兑换Cash

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Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券:A纪念券(以下简称A券)和 B纪念券(以下
简称B券)。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动,
两种金券都有自己当时的价值,即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的
价值分别为 AK 和 BK(元/单位金券)。为了方便顾客,金券交易所提供了一种非常方便的交易方式:比例交易法
。比例交易法分为两个方面:(a)卖出金券:顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例,其意义为:将
 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币;(b)买入金券:顾客支付 IP 元人民币,交易所将会兑
换给用户总价值为 IP 的金券,并且,满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK;例如,假定接
下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为:
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假定在第一天时,用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作:
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注意到,同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工,通过较长时间的运作和行情测算,他已经
知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来,如果开始时拥有S元钱,那么N天后最多能
够获得多少元钱。

Input

输入第一行两个正整数N、S,分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行,第K行三个实数AK、B
K、RateK,意义如题目中所述。对于100%的测试数据,满足:0<AK≤10;0<BK≤10;0<RateK≤100;MaxProfit≤1
0^9。
【提示】
1.输入文件可能很大,请采用快速的读入方式。
2.必然存在一种最优的买卖方案满足:
每次买进操作使用完所有的人民币;
每次卖出操作卖出所有的金券。

Output

只有一个实数MaxProfit,表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

【BZOJ-1492】货币兑换Cash       DP + 斜率优化 + CDQ分治

Source

Solution

斜率优化DP,典型的不单调

$f[i]=max(f[i],f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])*rate[j]*a[i]+f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])*b[i])$

至于CDQ分治的理论:移步  折越

启发:

1.斜率优化DP变化万千..

2.熟练掌握分治算法能够产生很多神奇的功效(xyx好像很喜欢分治)

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 200010
struct DayNode
{
double A,B,Ra,k; int id;
bool operator < (const DayNode & T) const
{return k<T.k;}
}a[maxn],tmpa[maxn];
struct PointNode{double x,y;}p[maxn],tmpp[maxn];
int N;
double dp[maxn];
int tmp1[maxn],tmp2[maxn],stack[maxn];
#define inf 1e9
#define eps 1e-9
double slope(int l1,int l2)
{
if (!l1) return -inf;
if (!l2) return inf;
if (fabs(p[l1].x-p[l2].x)<=eps) return -inf;
return (p[l1].y-p[l2].y)/(p[l1].x-p[l2].x);
}
void CDQ(int l,int r)
{
if (l==r)
{
dp[l]=max(dp[l],dp[l-]);
p[l].y=dp[l]/(a[l].Ra*a[l].A+a[l].B);
p[l].x=a[l].Ra*p[l].y;
return;
}
int mid=(l+r)>>,L,R;
L=l; R=mid+;
for (int i=l; i<=r; i++)
if (a[i].id<=mid) tmpa[L++]=a[i]; else tmpa[R++]=a[i];
for (int i=l; i<=r; i++) a[i]=tmpa[i];
CDQ(l,mid);
int top=;
for (int i=l; i<=mid; i++)
{
while (top> && slope(stack[top],stack[top-])<slope(i,stack[top-])+eps) top--;
stack[++top]=i;
}
int Top=;
for (int i=r; i>=mid+; i--)
{
while (Top<top && slope(stack[Top],stack[Top+])+eps>a[i].k) Top++;
dp[a[i].id]=max(dp[a[i].id],p[stack[Top]].x*a[i].A+p[stack[Top]].y*a[i].B);
}
CDQ(mid+,r);
L=l; R=mid+;
for (int i=l; i<=r; i++)
if (((p[L].x<p[R].x+eps || (fabs(p[L].x-p[R].x)<=eps && p[L].y<p[R].y+eps)) || R>r) && L<=mid)
tmpp[i]=p[L++];
else tmpp[i]=p[R++];
for (int i=l; i<=r; i++) p[i]=tmpp[i];
}
int main()
{
scanf("%d%lf",&N,&dp[]);
for (int i=; i<=N; i++)
scanf("%lf%lf%lf",&a[i].A,&a[i].B,&a[i].Ra),a[i].k=-a[i].A/a[i].B,a[i].id=i;
sort(a+,a+N+);
CDQ(,N);
//for (int i=1; i<=N; i++) printf("%d %d %.3lf %.3lf %.3lf %.3lf \n",i,a[i].id,a[i].A,a[i].B,a[i].Ra,a[i].k);
printf("%.3lf\n",dp[N]);
return ;
}
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