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https://en.wikipedia.org/wiki/Ramsey's_theorem

https://zh.wikipedia.org/wiki/拉姆齐定理

在组合数学上，拉姆齐（Ramsey）定理，又称拉姆齐二染色定理，是要解决以下的问题：要找这样一个最小的数n，使得n个人中必定有 k 个人相识或 l 个人互不相识。

这个定理以弗兰克·普伦普顿·拉姆齐命名，1930年他在论文On a Problem in Formal Logic（《形式逻辑上的一个问题》）证明了R(3,3)=6。

R(3,3)等于6的证明

证明：在一个的完全图内，每边涂上红或蓝色，必然有一个红色的三角形或蓝色的三角形。

• 任意选取一个端点，它有5条边和其他端点相连。
• 根据鸽巢原理，5条边的颜色至少有3条相同，不失一般性设这种颜色是红色。
• 在这3条边除了以外的3个端点，它们互相连结的边有3条。
  • 若这3条边中任何一条是红色，这条边的两个端点和相连的2边便组成一个红色三角形。
  • 若这3条边中任何一条都不是红色，它们必然是蓝色，因此，它们组成了一个蓝色三角形。

而在内，不一定有一个红色的三角形或蓝色的三角形。每个端点和毗邻的两个端点 的线是红色，和其余两个端点的连线是蓝色即可。这个定理的通俗版本就是友谊定理。

https://zh.wikipedia.org/wiki/友谊定理

友谊定理（Friendship Theorem）说明：在一群人数不少于三的人群中，若任意两人都刚好只有一个共同认识的人，这群人中总有一人是所有人都认识的。

在图论的角度来说，一幅图，若每个顶点都跟另一个顶点刚好只有一个共同相邻的顶点，这幅图中有一个顶点和其他顶点都相邻。

https://zh.wikipedia.org/wiki/完全图_(图论)

https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_graph

In the mathematical field of graph theory, a complete graph is a simple undirected graph in which every pair of distinct vertices is connected by a unique edge. A complete digraph is a directed graph in which every pair of distinct vertices is connected by a pair of unique edges (one in each direction).

Graph theory itself is typically dated as beginning with Leonhard Euler's 1736 work on the Seven Bridges of Königsberg. However, drawings of complete graphs, with their vertices placed on the points of a regular polygon, appeared already in the 13th century, in the work of Ramon Llull.^[1] Such a drawing is sometimes referred to as a mystic rose.^[2]

https://zh.wikipedia.org/wiki/平面图_(图论)

在图论中，平面图是可以画在平面上并且使得不同的边可以互不交叠的图。而如果一个图无论怎样都无法画在平面上，并使得不同的边互不交叠，那么这样的图不是平面图，或者称为非平面图。完全图K₅和完全二分图K_3,3是最“小”的非平面图。