题目描述
有\(n\)个物品，每个物品有一个体积\(v_i\)，背包容量\(s\)。要求选一些物品恰好装满背包且物品个数最少，并在这样的方案中：
（1）求出中位数最小的方案的中位数（\(k\)个元素的中位数是从小到大第\(⌊k/2⌋\)个数）；
（2）求出众数最小的方案的众数；
（3）求出极差最小的方案的极差。
解题思路
令每个物品价值为1，求装满时的最小价值，这只需01背包即可，答案即为最小个数\(m\)。
对于众数，二分答案并删去多余物品即可。
对于中位数，二分答案，令每个物品价值为\(inf+t\)，其中体积大于二分的答案时\(t\)为1，否则为-1。同样求出装满时最小价值，若超过\(m\times inf\)则真正答案更大，否则更小。正确性是因为任意时刻，\(dp_i\)保存的值若要求最优，首先要保证取的个数是最少的（否则没有意义），在此条件下尽可能少取体积大的物品。而全局最优答案必然由局部最优答案转移（可反证）。
对于极差，考虑从小到大加入物品，每个物品价值\(inf\)，但是若该物品第一次加入背包则价值\(inf-v_i\)。每加完一个物品\(i\)更新完\(dp\)后，求\(dp_s+v_i\)。所有值取最小即可。
时间复杂度\(O(ns \log n)\)
一些感受
根据以上思路，除了极差部分可全部转化为普通01背包，大大减小了代码量（仅60行）。极差部分也非常好写，详见代码。
可惜比赛时没想出来！赛后过了若干天补题时想了一会就出来了（生气~）。最后，这道题质量真是太高啦！“题出的好！难度适中，覆盖知识点广，题目又着切合实际的背景，解法比较自然。给出题人点赞！”
AC代码
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXV 5001
#define INF 10001
int dp[MAXV];
int v[], c[];
int solve(int n, int s)
{
memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
dp[] = ;
for (int i = ; i < n; i++){
for (int j = s; j >= v[i]; j--)
dp[j] = min(dp[j], dp[j - v[i]] + c[i]);
}
return dp[s];
}
int solve2(int n, int s)
{
memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
dp[] = ;
int ans = 0x3fffffff;
for (int i = ; i < n; i++){
for (int j = s; j > v[i]; j--)
dp[j] = min(dp[j], dp[j - v[i]] + INF);
dp[v[i]] = min(dp[v[i]], INF - v[i]);
ans = min(ans, dp[s] + v[i]);
}
return ans % INF;
}
int main()
{
int n, s;
scanf("%d%d", &n, &s);
for (int i = ; i < n; i++){
scanf("%d", &v[i]);
c[i] = ;
}
sort(v, v + n);
int num = solve(n, s), l, r;
if (num > n){ printf("-1"); return ; }
printf("%.9lf ", (double)s / num);
for (l = , r = n - ; l != r;){
int mid = (l + r) >> , w = v[mid];
for (int i = ; i < n; i++)
c[i] = INF + (v[i] > w ? : -);
if (solve(n, s) > INF * num)l = mid + ;
else r = mid;
}
printf("%d ", v[l]);
for (l = , r = n; l != r;){
int mid = (l + r) >> ;
for (int i = , j; i < n; i++){
j = !i || v[i] != v[i - ] ? : j + ;
c[i] = j <= mid ? : INF;
}
if (solve(n, s) > num)l = mid + ;
else r = mid;
}
printf("%d ", l);
printf("%d", solve2(n, s));
return ;
}