动态规划

根据九章算法视频做的笔记
链接：https://www.bilibili.com/video/BV1xb411e7ww

动态规划题目特点

1. 计数
2. 求最值
3. 求存在性

解题步骤

1. 确定状态
   最后一步和子问题
2. 转移方程
3. 初始条件和边界情况
4. 计算顺序

做题

1. LeetCode322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change

• 求最值型动态规划

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        // 总额为 0 的情况直接返回 0
        if (amount == 0) {
            return 0;
        }
		// 最少次数的数组
        int[] minCount = new int[amount + 1];

        minCount[0] = 0;

        int MAX_VALUE = Integer.MAX_VALUE;

        for (int i = 1; i < minCount.length; i++) {
            int minValue = MAX_VALUE;
            for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
                if (i - coins[j] < 0) {
                    continue;
                }
                minValue = Math.min(minCount[i - coins[j]], minValue);
            }
            // 防止越界
            minCount[i] = minValue == MAX_VALUE ? minValue : minValue + 1;
        }

        return minCount[amount] < MAX_VALUE ? minCount[amount] : -1;
    }
}

2. LeetCode62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths

• 计数型动态规划

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] a = new int[m][n];

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                // 左边第一列和上方第一排为 1
                if (i == 0 || j == 0) {
                    a[i][j] = 1;
                    continue;
                }
                a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1];
            }
        }
        return a[m - 1][n - 1];
    }
}

注意：m == 1 && n == 1 时我以为结果为 0，但是结果是 1。

另解法（组合数学）：
机器人一定会走 m+n-2 步，即从 m+n-2 中挑出 m-1 步向下走或者从 m+n-2 中挑出 n-1 步向右走的次数。
即 C m + n − 2 m i n ( m − 1 , n − 1 ) C^{min(m-1,n-1)}_{m+n-2} Cm+n−2min(m−1,n−1)​ 种走法

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        return comb(m + n - 2, min(n - 1, m - 1))