随机信号的参数建模法

（Modern modeling method for signal）

一、基本介绍

二、3种参数模型

1、MA模型
随机信号x(n)由当前的激励w(n)和若干次过去的激励w(n-k) 线性组合产生：

该模型的系统函数：

系统函数只有零点，没有极点，所以该系统一定是稳定的系统，也称为全零点模型，用 MA（ q ）来表示。

2、AR模型
随机信号x(n)由本身的若干次过去值x(n-k)和当前的激励值w(n)线性组合产生：

该模型的系统函数是：

p 是系统阶数，系统函数中只有极点，无零点，也称为全极点模型，系统由于极点的原因，要考虑到系统的稳定性，因而要注意极点的分布位置，用 AR（ p ）来表示。

3、ARMA模型
ARMA 是 AR 与 MA 模型的结合：

系统函数是：

它既有零点又有极点，所以也称极零点模型，要考虑极零点的分布位置，保证系统的稳定，用 ARMR（ p ，q ）表示。
在随机信号时域分析中，提出了许多数学模型用来由已知在最大不确定原则下预测将来值，其优点是只需要很少的已知值。但是它不能用在信号是确定性的场合，在确定信号的情况下，信号是由确定的数学方程预测的。这点要特别注意。例如，如果我们用心电的 R 波升枝作已知数据进行随机预测，则预测值即为与 R 波上升枝有关的数据，决不可能预测出整个 P- QRS-T 复合波来。

三、AR模型参数估计

用适当的算法估计模型参数（ ak、bk、 p 、q ），以便用模型对随机信号进行预测。

其中方程组的系数组成自相关矩阵[R] p+1​，由于自相关函数是偶对称函数，即R xx (m)=R xx(−m)，因而自相关矩阵为对称矩阵，与主对角线平行的斜对角线上的元素都是相同的，故存在高效算法，其中广泛应用的有Levinson－Durbin（L-D）算法。Y-W方程表明，只要已知输出平稳随机信号的自相关函数，就能求出AR模型中的参数{ak }，并且需要的观测数据较少。
用matlab实现：

a. 由题可知，a1=14/24；a2=9/24; a3=-1/24;
代入自相关序列的矩阵可得：
整理为：
由matlab计算出R(0) R(1) R(2) R(3)

b. 已知自相关序列值，来估计 3 阶 AR 模型的参数

如果已知 R(0),R(1),R(2),R(3)时，只需要代入矩阵即可反求得a1 a2 a3：

• 可以发现对 AR 模型参数是无失真的估计，因为已知 AR
  模型，我们可以得到完全的输出观测值，因而求得的自相关函数没有失真，当然也就可以不失真的估计。

c.用观测值的自相关序列直接来估计AR (3)的参数{ a ^ k }以及输入白噪声的方差σ ^ w 2
样本自相关定义:
由此可以求出自相关序列Rxx：

选取Rxx前4个值，可以得到{ak}：

与真实 AR 模型参数误差为：e1＝0.1151，e2＝0.1002，e3＝0.0498，原因在于我们只有一部分的观测数据，使得自相关序列值与理想的完全不同。输入信号的方差误差比较大：e＝0.5322
法二：Y－W 方程的解法——L-D 算法
要得到更精确的估计值，就要建立更高阶的 AR 模型。