反向极限
我们考虑一列群同态

\[\cdots \stackrel{\theta_{n+2}}{\longrightarrow} A_{n+1} \stackrel{\theta_{n+1}}{\longrightarrow} A_{n} \stackrel{\theta_{n}}{\longrightarrow} A_{n-1} \stackrel{\theta_{n-1}}{\longrightarrow} \cdots \]

\(I\)-adic完备化

1. \(A\)是诺特环，\(I\subset A\)是理想，\(\hat{A}\)是\(I\)-adic完备化。设\(\hat{x} \in \hat{A}\)是\(x\in A\)的像，则\(x\)不是零因子\(\Rightarrow \hat{x}\)不是零因子。

2. \(A\)是诺特环，\(I, J\)是理想。如果\(M\)是有限生成的\(A\)模，\(M^I, M^J\)分别表示\(I\)-adic完备化和\(J\)-adic完备化，那么\((M^I)^J = M^{I + J}\)。

3. \(A\)是诺特环，\(I\subset A\)是理想。\(I\)包含在雅各布森根中当且仅当\(A\)的每个极大理想对于\(I\)拓扑是闭的。