基于线性回归的人脸识别算法

首先对《Linear Regression for Face Recognition》作者Imran Naseem和Roberto Togneri表示感谢，本文将基于这篇论文介绍如何运用线性回归模型解决人脸问题。欢迎读者评论发言，共同学习进步！

符号说明

符号	含义
\(N\)	类别数
\(q\)	特征数
\(p_i\)	训练集第 \(i\) 类样本数

注：训练集\(X=\{X_1, X_2, \cdots,X_N\}\)，其中 \(X_i\) 中所有样本都来自第 \(i\) 类。

简介

对于线性回归相信大家都不陌生，高中的时候我们就已经学了最小二乘法对其进行求解。给定一组离散变量

人脸识别听上去给人一种很高大上的感觉，至少笔者在进入人脸识别研究领域之前是这么觉得的。而，真实世界中人脸识别过程主要由四个阶段组成：人脸检测、图像预处理、面部特征提取和特征识别。首先系统从视频或者相机中捕获图像，检测并分割出其中的人脸区域；接下来通过归一化、对齐、滤波等方法改善图像的质量，这里的质量主要由最终的人脸识别率决定；特征提取（降维）环节尤为重要，其初衷是减少数据量从而减轻计算负担，但良好的特征选取可以降低噪音和不相关数据在识别中的贡献度，从而提高识别精度；特征识别阶段需要根据提取的特征训练一个分类器，对于给定的测试样本，根据训练器对其进行分类。

常见的人脸识别算法可分为重建性质的和判别性质的。前者包括主成分分析（PCA）、独立成分分析（ICA）等方法，这一类方法在图像污染情况下比较鲁棒；后者典型方法为线性判别分析，该类方法往往在图像干净的情况下效果较好。有研究表明，特征空间的选择并不是太重要，真正关键的是特征空间的维度以及分类器的设计。

本文介绍的线性回归分类算法（Linear Regression Classification, LRC）是一种重建算法，用每一类的样本线性组合对测试样本进行重建，效果最好的便为测试样本所在类。这种分类器属于最近子空间法（Nearest Subspace, NS）。

线性回归分类（LRC）

算法介绍

首先得就下面这一点达成共识：来自同一类的样本共处于一个线性空间中。这意味着同一类中的一个样本可以被该类中其他样本线性表示，基于此Imran Naseem等人提出了一个特定于类的模型，并把人脸识别问题转化为线性回归问题。对测试样本 \(y\in R^{q\times 1}\)，尝试用同一个类中的所有训练样本对其进行线性表示，表示得最好的类我们就认为是测试样本所在的类。

那么怎么进行线性表示呢？什么才算表示得最好呢？

如图所示，假设训练集中有两个类别，每个类别有三张图片，这时如何判断 \(y\) 属于哪个类别呢？

A：\(y\) 是我的，你看它和我大儿子 \(A_1\) 二儿子 \(A_2\) 三儿子 \(A_3\) 长得都好像啊。

B：你说长得像就像吗，我还说 \(y\) 和我儿子长得像呢。

A：不信咱去问问欧几里得前辈，老前辈肯定支持我。

B：去就去，谁怕谁啊。

O：孩子们，你们找我什么事啊？

A：村里来了个寻亲的大学生，是我家娃，老B非得说是他家的。

B：胡说，明明就是我家的娃，也就我和孩他妈这么优秀才能生出来大学生。

O：原来是这样啊，我来看看。

\[||A_1-y||_2<||B_1-y||, ||A_2-y||_2<||B_2-y||, ||A_3-y||_2<||B_3-y||. \]

O：小B啊，\(y\) 确实和小A家三个娃比较像，看来应该是他家的。

B涨红了脸，有些紧张局促。

B：万一发生基因突变了呢，谁不知道我家基因优越，适应能力强。说不定小 \(y\) 结合了我家三个娃的优点呢！

A：哼，你就吹吧。

O：哦？倒也不是不可能，容我再来看看。

\[\hat y_A=\min{(k_1A_1+k_2A_2+k_3A_3-y)}, \hat y_B=\min{(t_1B_1+t_2B_2+t_3B_3-y)}, \hat y_A<\hat y_B. \]

O：看起来小 \(y\) 还是小A更像嘛！好吧，就这样吧，我要休息了。

A：哈哈哈，娃是我的了。

B：呜呜呜。

严谨（装b）来说：对于类别 \(i\)，寻找一组系数 \(w_{i1},w_{i2},\cdots,w_{ip_i}\) 使其满足 \(y=w_{i1}X_{i1}+w_{i2}X_{i2}+\cdots+w_{ip_i}X_{ip_i}\)。如果存在这样的一组系数，说明测试样本 \(y\) 处于第 \(i\) 类样本生成的线性空间中，从而把 \(y\) 归为第 \(i\) 类。但实际问题中由于噪声等原因的存在，上式等号几乎不会成立，这时怎么判定 \(y\) 类别呢？

令 \(y_i=w_{i1}X_{i1}+w_{i2}X_{i2}+\cdots+w_{ip_i}X_{ip_i},i=1,2\cdots,N\)，选择 \(w_i\) 使 \(y_i\) 尽量逼近 \(y\)，也就是使 \(distance(y,y_i)\) 尽量小，把其最小值记为 \(d_i(y),i=1,2\cdots,N\)。向量 \(d(y)\) 中最小值对应的坐标 \(\hat y_{class}=argmin_id_i(y)\)即可认为是 \(y\) 的类别，因为 \(y\) 距离这个空间距离更近。

下面展示算法的详细具体流程。

算法：线性回归分类
输入：训练集\(X=\{X_1, X_2, \cdots,X_N\}\)，其中 \(X_i \in R^{q\times p_i}\)；测试样本 \(y\in R^{q\times 1}\).
流程： 1. 建立每一类测试样本到测试样本的回归模型，计算回归系数 \(\hat\beta_i \in R^{p_i\times1}\), $$\hat\beta_i=(X_iTX_i){-1}X_i^Ty, i=1,2,\cdots,N.$$ 2. 对每个回归系数 \(\hat\beta_i \in R^{p_i\times1}\) 计算回归预测值，\(\hat y_i=X_i \hat\beta_i, i=1,2,\cdots,N\). 3. 计算 \(y\) 和 \(\hat y_i\) 之间距离，$d_i(y)=
输出：测试样本预测类别 \(\hat y_{class}\).

个人思考

我们寻找的是某个类别中所有样本到测试样本的一个线性表示，但是为什么算法起名为线性回归人脸识别呢？对于线性回归模型，在求出回归系数后，我们给它一个输入，相应的就会有一个输出。LRC算法中我们给它一张测试人脸图像作为输入，尽管它给出样本预测类别作为输出，但显然输入和输出之间是不存在线性关系的。那么回归究竟在“哪里”呢，它实际的输入和输出又是什么呢？

先来看一下算法中唯一和线性搭边的式子，

\[y_i=w_{i1}X_{i1}+w_{i2}X_{i2}+\cdots+w_{ip_i}X_{ip_i}. \]

把 \(X_{i1}, X_{i2}, \cdots,X_{iP_i}\) 理解为自变量，\(y_i\) 理解为因变量，换个符号重新整理一下，

\[y=k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_{p_i}x_{p_i}. \]

这样看上去就像理论回归方程了。\(x_i\) 和 \(y\) 的取值为图片的像素，所以回归实际的输入和输出是像素值。具体而言，输入为训练集中某一类别所有图像某一位置的像素值，输出为测试图像同一位置的像素值。

于是出现了反常的现象：样本数居然是固定的，而特征数却可以改变。因为样本数量取决于图像像素值大小，特征数量取决于同一类别中图片数目。

想到这里感觉好有意思，数学真的是太神奇了！

分块LRC算法

分块表示法是处理遮挡人脸识别的一个有效方法。被连续遮挡污染的图像像素都是相邻的，基于这一认知，可以把人脸图像分割为多个子图像，对每个子图像分别进行上面LRC的算法。一般采用投票法确定最终分类结果，但这样会使有噪声的块和干净的块对结果做出相同的贡献，造成不好的后果。例如，如果图像有四分之三的区域被污染了，那么尽管用于识别的有效信息集中在干净的四分之一的区域，但投票法却更多地利用了被污染的四分之三区域的信息，分类结果自然难以差强人意。

减少污染部分对结果的贡献是一件比较困难且复杂的事情，因为人脸图像先验分布是未知的。本文展示了一个简单但有效的算法（PS：真的是简单粗暴！）以降低污染图像块的重要性，从而提高准确率。

把图像均等分为 \(M\) 个块，对每 \(k=1,2,\cdots,M\) 块采用上一节的LRC算法，将算法第 4 步中的 \(min_id_i(y)\) 记为 \(d_k\) 。选用 \(d_k\) 最小值对应的块作为最终分类依据，给出分类结果。

简单地说就是把图像分为 \(M\) 个块，对这些块分别处理。如果第 \(z\) 块位置测试样本被训练样本表示的最好，那么就根据第 \(z\) 块的信息进行分类。太粗暴了吧！这样的话对划分块数的选择肯定不够鲁棒，如果块的大小只够包含一只眼睛， 那么很有可能最终结果就由这个块确定，但其他块包含着另一只眼睛、嘴巴、鼻子等，信息根本就没有得到充分的利用。个人觉得如果对块数限定一个阈值，范围之内采取投票法进行决策可能效果会更好一些。但也许作者早就考虑到了这一点了，只是效果不好，后期有空编程对比一下。

总结

本文介绍了如何运用线性回归模型处理人脸识别的问题。基于同一类样本共处一个线性空间的前提条件，分别建立每一类到测试样本的回归模型，模型解释效果最好的即认为是测试样本的类。针对遮挡问题，本文介绍了一种简单但有效的分块LRC算法。将图像分为多个块，对每个块分别应用LRC算法，选择模型效果最好的块作为分类依旧进行决策。

本人认为分块LRC算法的性能持保留态度，采用阈值投票法其性能应该会提升，后期抽时间做实验验证一下。