机器人学导论——空间描述和变换（二）

2024-02-19 23:44:16

一说在前头

最近在学习《机器人学导论》（‘Introduction to ROBOTICS’-JOHN CRAIG）,文章内容为学习过程中的摘抄或者感悟，方便今后查阅。

二算子

用于坐标系间点的映射的通用数学表达式称为算子，包括点的平移算子、矢量旋转算子和平移加旋转算子。

上一篇文章里所说的映射是描述坐标系间的变换，涉及两个坐标系；算子则是在一个坐标系内，点进行平移、旋转等的描述方式。

2.1 平移算子

上图中，^AP₁在坐标系{A}中通过矢量^AQ进行了平移。平移后原点到平移对象的新的矢量^AP₂为：

也可以写成：

其中，q是沿矢量 Q ^ \hat Q Q^方向平移的数量，算子D_q可以看作是一个特殊的齐次变换：

2.2 旋转算子

旋转矩阵还可以用旋转算子来表示，由于只涉及一个坐标系，故无需写上旋转算子的上下标。

还有另一种定义，这种定义可以更明确的表达绕哪个轴进行旋转：

其中，R_K(θ）旋转算子表示绕 K ^ \hat K K^旋转θ角度。

则有：

2.3 变换算子

同矢量和旋转矩阵一样，坐标系还可以用变换算子来定义：

同样不用上下标。

2.4 小结

变换映射和变换算子实际上数学本质是相同的，但描述对象不一样，笔者认为可以这样理解：变换映射是对于两个坐标系而言的，而变换算子可以看作是坐标系内的变换。
综上，齐次矩阵有3种解释：

可以描述位姿
变换映射
变换算子

三变换计算

3.1 复合变换

如上图所示，已知^CP，求^AP。
已知坐标系{C}相对于坐标系{B}，坐标系{B}相对于坐标系{A}，则有：

则有定义：

其中，^A_BT形式如下：

^B_CT同理，则有：

3.2 逆变换

已知^A_BT如何求出^B_AT呢？
一是通过矩阵直接求逆对4X4齐次变换矩阵进行求逆；
二是利用变换的性质求解。
已知量是^A_BR和^AP_BORG，求^B_AR和^BP_AORG，
将^AP_BORG转变成在{B}中的描述：

该式由

变换得来，^AP_BORG是要被转换的对象，所以在上式中的左上标都是B，表示相对于{B}坐标系，下标都是A，表示要被转换的对象所在的坐标系，而等式右边第一项的^AP_BORG就是要被转换的对象。
并且因为等式的左边等于0，所以可以得到：

这里的^B_AR是正交矩阵，所以^B_AR=^A_BR^T。

综上可以得到：

3.3 变换方程

上图所示的坐标系{D}可以用两种不同的方式表达成变换相乘的形式：

则有：

如果所有变量除了^B_CT外均已知，那么有：

四其他姿态描述

至此，只给出了3 x 3旋转矩阵来表示姿态。如上所述，旋转矩阵是一种特殊的各列相互正交的单位阵。进一步我们知道旋转矩阵的行列式恒为+1.旋转矩阵也可被称为标准正交矩阵，“标准”是指其行列式的值为+1 (非标准正交矩阵的行列式值为-1)。
很自然地要问，能否用少于九个数字来表示-一个姿态。线性代数的结论( 正交矩阵的凯莱公式)告诉我们，对于任何正交阵R，存在一个反对称矩阵S，满足：
式中I₃是一个3x3单位阵。一个3维反对称阵(即S=-S^T) 可由三个参数(s_x, s_y, s_z)表示为
因此，任何3 x 3旋转阵可用三个参量确定。
显然，旋转矩阵的九个分量线性相关。实际上，对于一个旋转矩阵R很容易写出六个线性无关的分量。如上所述，假定R为三列:

这三个矢量是参考坐标系中某坐标系的单位轴。每个矢量都是单位矢量，且相互垂直，所以9个矩阵元素有6个约束：
自然要问是否能找到这样一种姿态表示法，用三个参量就能简便地进行表达。本节将给出几个姿态表示法。

4.1 X-Y-Z固定角

首先将坐标系{B}和一个已知参考坐标系{A}重合。先将{B}绕X_A旋转γ角，再绕Y_A旋转β角，最后绕Z_A旋转α角。
每个旋转都是绕着固定参考坐标系{A}的轴。我们规定这种姿态的表示法为X-Y-Z固定角。“固定”一词是指旋转是在固定(即不运动的)参考坐标系中确定的。有时把它们定义为回转角、俯仰角和偏转角。但是使用中应注意，因为这个定义经常与其他定义不同的问题相关。

式中cα是cosα的简写，sα是sinα的简写等等。最重要的是要搞清楚旋转顺序。将旋转看作算子依次进行旋转( 从右开始)，先进行旋转X_A，再作旋转Y_A，最后作旋转Z_A。