思路一：DP，类比完全背包
dp[i][j]表示前i个硬币 金额j 所需要的最少硬币数
dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-coins[i]]+1);
边界：由于是取最小值，所以dp[-1][1…amount]设置为INT_MAX-1(防溢出)
金额0时需要0个硬币，也就是dp[-1][0]=0（有一个不为正无穷）！！！

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
    
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX - 1);
        dp[0] = 0;
        int n = coins.size();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; ++j) {
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
            }
        }
        return (dp[amount] == INT_MAX - 1) ? -1 : dp[amount]; //题目：如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 ！！！
    }
};

思路二：看到最少个数->广度搜索
也就是将amout先入队，layer=0，然后把队中的元素都出队，amout减去coins中的每一个元素，入队，layer=1，然后把队中的元素都出队，继续入队…重复此过程，直到遇到0为止。
优化： 同一个值，入过队之后，之后就没必要入队了，因此要定义一个hash来记录入过队的元素！！！

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        //layer用一个变量代替 ，能够节省O(n)空间
        if (!amount) return 0;
        queue<int> q;
        unordered_set<int> flag;
        q.push(amount);
        flag.insert(amount);
        int layer = 0;
        int len = q.size();
        while (len) {
            for (int i = 0; i < len; ++i) {
                int frt = q.front();
                q.pop();
                for (auto& each : coins) {
                    if (frt - each > 0 && !flag.count(frt - each)) {
                        q.push(frt - each);
                        flag.insert(frt - each);
                    }
                    if (frt - each == 0) {
                        return layer + 1;
                    }
                }
            }
            layer++;
            len = q.size();
        }   
        return -1;
    }
};

思路三：深度搜索
在每一层，分别都减去coins中的每一个元素，进入下一层。
注意1：
在搜索的时候存在很多相同的子问题，因此要进行记忆化搜索，也就是定义一个unordered_set来保存计算过的每一个值。
注意2：
在每一层搜索的时候，要对每一个元素都搜索一下，然后取最小值。而不是搜到一个就停止！！！

class Solution {
public:
    unordered_map<int, int> hash; 
    int dfs(vector<int>& coins, int amount); 
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {

        if (!amount) return 0;
        return dfs(coins ,amount);
    }
};
int Solution::dfs(vector<int>& coins, int amount) {
    int ans = INT_MAX;
    if (hash.count(amount)) return hash[amount];
    for (auto& each : coins) {
        if (amount - each > 0) {
            int tmp = dfs(coins , amount - each);
            if (tmp != -1) ans = min(ans, tmp + 1);
        }
        if (amount - each == 0) {
            hash[amount] = 1;
            return 1;
        }
    }
    if (ans != INT_MAX) return hash[amount] = ans;
    return hash[amount] = -1;
}