前言

前几天有幸听学长讲平衡树，想着好久没写博客了，记录一下。

简介

Splay，平衡树的一种，依靠每次将访问到的点旋到根来保持树的平衡。

并且，Splay 还可以高效解决序列翻转等操作。

实现

前提

以下代码是基于这样的定义的：

struct Tree{int ch[2],val,siz,fa;}nd[MAXN];//表示某一个节点
void pushup(int rt){nd[rt].siz=nd[nd[rt].ch[0]].siz+nd[nd[rt].ch[1]].siz+1;}//更新某个节点子树的大小
int chk(int rt){return rt==nd[nd[rt].fa].ch[1];}//返回 rt 是左孩子还是右孩子

旋转

首先，对于依赖旋转的平衡树，这个操作是十分重要的。我们可以通过图片来理解，如何将父子关系互换并且不违背二叉搜索树的性质。

旋转有两种，对于左儿子用右旋，右儿子用左旋，下面以右旋为例。

首先最关心的是二叉搜索树的性质，我们可以发现，原来有：

\[uls<u<urs<fa<fars \]

在旋转后仍然满足：

\[uls'<u'<urs'<fa'<fars' \]

因此旋转没有破坏二叉搜索树的美妙性质。那我们来看旋转的实现：

1. 把 \(u\) 变成 \(fa\) 的父亲的儿子，\(u\) 的父亲更改为 \(fa\) 的父亲；
2. 把 \(u\) 的右儿子变成 \(fa\) 的左儿子；
3. 互换 \(u\) 与 \(fa\) 的父子关系。

左旋也一样，左右儿子倒过来就可以，因此我们可以根据 \(u\) 初始是左儿子还是右儿子，将两种旋转合并。

void rot(int rt){
	int p=nd[rt].fa,g=nd[p].fa,d=chk(rt);
	nd[g].ch[chk(p)]=rt;nd[rt].fa=g;
	nd[p].ch[d]=nd[rt].ch[d^1];
	nd[nd[rt].ch[d^1]].fa=p;
	nd[rt].ch[d^1]=p;nd[p].fa=rt;
	pushup(p);pushup(rt);//注意最后的更新
}

由于旋转是平衡树的基本操作，所以这里就先这样，主要理解双旋对 Splay 的优化。

双旋

双旋关心节点 \(u\) 的父亲的儿子类型与 \(u\) 的关系。

对此，我们可以分成 \(3\) 种情况：

1. 父亲是根节点。此时直接旋转就可以了。
2. 如果父亲的儿子类型与 \(u\) 相同。那么就先旋父亲，再旋 \(u\)。
3. 如果不同。那么就把 \(u\) 旋转 \(2\) 次。

为什么要这么麻烦呢？前面说过，Splay 是把访问的节点旋到根来维护平衡的，那我直接一个一个旋不就好了？为什么要定义一个双旋呢？

很简单，来看一个例子：

如果我访问顺序是 \(5\to 4\to 3\cdots 1\to 5\to 4\cdots\)，那么可以发现，如果只是用单旋，每次查找为 \(\mathcal{O}(n)\)，而用单旋不能改变链的事实，所以总的复杂度会高达 \(\mathcal{O}(n^2)\)，直接 GG。（不理解可以自己手动模拟一下，发现每次旋到根后，整体还是同样形状的链）

那如果采用双旋呢？

可以看一下第一次操作如果用双旋结果是什么（把 \(5\) 转到根上）。

可以看到改变了链的形式，使得高度《大大》降低。

所以采用双旋，可以有效规避在链的情况下出现时间爆炸的情况。

所以我们采用双旋来实现 Splay，而对于把一个节点旋到根的操作，我们称之 \(Splay\) 操作（（（

void splay(int rt){
    while(nd[rt].fa!=gl){
        int p=nd[rt].fa,g=nd[p].fa;
        if(g==0) rot(rt);//case 1
        else if(chk(rt)==chk(p)) rot(p),rot(rt);//case 2
        else rot(rt),rot(rt);// case 3
    }root=rt;
}

别的操作

有了 \(Splay\) 操作，就基本完成了 Splay，接下来就是一些比较细节的，和别的平衡树异曲同工的操作了。只要记住，对于所有操作，我们只要对目标点操作完后 \(Splay\) 一下就可以了，非常舒服。

插入

void ins(int rt,int val,int f){
    if(!rt){
        rt=++tot;nd[rt].val=val;nd[rt].siz=1;
        nd[rt].fa=f;nd[f].ch[val>=nd[f].val]=rt;
        splay(rt,0);return;
    }
    int d=(nd[rt].val<=val);
    ins(nd[rt].ch[d],val,rt);
}

查找第 k 大

int find(int rt,int k){
	pushdown(rt);
	int cur=nd[nd[rt].ch[0]].siz+1;
	//如果是有重复元素的并且记录了 cnt 的，这里的 1 要改 nd[rt].cnt
	if(k<cur) return find(nd[rt].ch[0],k);
	else if(k==cur) return rt;
	else return find(nd[rt].ch[1],k-cur);
}

To be continued

序列上的 Splay

先来看个题哈：P3391 【模板】文艺平衡树

这题需要支持区间翻转，并输出最终结果。那如果暴力的话是 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的，显然 TLE。

这时候，我们考虑把位置作为权值，建立一棵 Splay。如果对 \([l,r]\) 翻转，那么我们就在书上查找 \(l-1\) 和 \(r+1\)，然后把 \(l-1\) 转到根，把 \(r+1\) 转到根的右儿子，此时可以发现，根据二叉搜索树的性质，区间 \([l,r]\) 就是以根的右儿子的左儿子为根的子树。

然后我们在这里记一个 \(tag\)，之后如果向下访问了，就 \(pushdown\) 即可。

呃，一点小问题，我们知道 \(Splay\) 操作是可以把节点旋转到根的，那怎么旋转到根的右儿子呢？我们可以多加一个 \(gl\) 参数，表示目标点的父亲。

void splay(int rt,int gl){
    while(nd[rt].fa!=gl){
        int p=nd[rt].fa,g=nd[p].fa;
        if(g==gl) rot(rt);
        else if(chk(rt)==chk(p)) rot(p),rot(rt);
        else rot(rt),rot(rt);
    }if(!gl) root=rt;
}

那我们就把这题做完了……

注意，由于我们用到 \(l-1\) 和 \(r+1\)，所以需要一个极小值和极大值防止翻转 \([1,n]\) 的时候爆炸~

贴个代码，以示诚意。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf (1<<30)
#define INF (1ll<<60)
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;
int tot,root;
struct Tree{int ch[2],val,siz,fa,rev;}nd[MAXN];
void pushup(int rt){nd[rt].siz=nd[nd[rt].ch[0]].siz+nd[nd[rt].ch[1]].siz+1;}
int chk(int rt){return rt==nd[nd[rt].fa].ch[1];}
void pushdown(int rt){
    if(nd[rt].rev==0) return;
    nd[nd[rt].ch[0]].rev^=1;
    nd[nd[rt].ch[1]].rev^=1;
    nd[rt].rev=0;
    swap(nd[rt].ch[0],nd[rt].ch[1]);
}
void rot(int rt){
	int p=nd[rt].fa,g=nd[p].fa,d=chk(rt);
	nd[g].ch[chk(p)]=rt;nd[rt].fa=g;
	nd[p].ch[d]=nd[rt].ch[d^1];
	nd[nd[rt].ch[d^1]].fa=p;
	nd[rt].ch[d^1]=p;nd[p].fa=rt;
	pushup(p);pushup(rt);
}
void splay(int rt,int gl){
    while(nd[rt].fa!=gl){
        int p=nd[rt].fa,g=nd[p].fa;
        if(g==gl) rot(rt);
        else if(chk(rt)==chk(p)) rot(p),rot(rt);
        else rot(rt),rot(rt);
    }
    if(!gl) root=rt;
}
void ins(int rt,int val,int f){
    if(!rt){
        rt=++tot;nd[rt].val=val;nd[rt].siz=1;
        nd[rt].fa=f;nd[f].ch[val>=nd[f].val]=rt;
        splay(rt,0);return;
    }
    int d=(nd[rt].val<=val);
    ins(nd[rt].ch[d],val,rt);
}
int find(int rt,int k){
	pushdown(rt);
	int cur=nd[nd[rt].ch[0]].siz+1;
	if(k<cur) return find(nd[rt].ch[0],k);
	else if(k==cur) return rt;
	else return find(nd[rt].ch[1],k-cur);
}
int n,m;
void print(int rt){
	pushdown(rt);
    if(nd[rt].ch[0]) print(nd[rt].ch[0]);
    if(nd[rt].val-1>=1&&nd[rt].val-1<=n) printf("%d ",nd[rt].val-1);
    if(nd[rt].ch[1]) print(nd[rt].ch[1]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n+2;i++) ins(root,i,0);
    //这里和讲的不太一样，由于查找 0 比较麻烦，所以还是将整个数组向后移动一个，把 1 和 n+2 当成边界
    int l,r;
    while(m--){
        scanf("%d%d",&l,&r);
        l=find(root,l);r=find(root,r+2);
        splay(l,0); splay(r,l);
        nd[nd[nd[root].ch[1]].ch[0]].rev^=1;
    }
	print(root);
}