[问题2014A10]  解答

考虑如下变形: \[(I_n-A)^2=(AA'-A)(I_n-A)=A(A'-I_n)(I_n-A)=-A(I_n-A)'(I_n-A).\] 因为 \(A\) 是非异阵, 故 \[\mathrm{rank}\Big((I_n-A)^2\Big)=\mathrm{rank}\Big((I_n-A)'(I_n-A)\Big).\cdots(1)\] 由复旦高代书第 179 页复习题 41 可知 \[\mathrm{rank}\Big((I_n-A)'(I_n-A)\Big)=\mathrm{rank}(I_n-A).\cdots(2)\] 由 (1) 式和 (2) 式即得结论.  \(\Box\)