Problem

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Solution

首先做一步转换，强制所有的点向坐标轴平移，这样对于每一维至少有一个点该维的坐标是 \(0\)（以下简述为：每一维至少一个 \(0\)。）

这样一个点集的直径就是这个点集每一维每个点该维最大坐标的最大值。

对于恰好这个条件，不好求。可以转化为设 \(f(D)\) 为直径 \(\le D\) 的点集数量，则直径恰好为 \(D\) 的点集数为 \(f(D)-f(D-1)\)。

对于\(f(D)\)，合法的方案应该满足：

• 1.每个点每一维的坐标在 \([0,D]\)。

• 2.每一维至少一个 \(0\)。

第一个限制很好解决，第二的限制考虑容斥。去掉第二个条件，全集为 \(2^{(D+1)^n}\)。考虑限制2 的不合法方案，应该为至少有一维全部无 \(0\)，这个还是用容斥来数，强制有一维全部无 \(0\)，由于会数重复，以此类推，具体的，限制2 的不合法方案数为：

\[\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} \dbinom{n}{i} 2^{D^i(D+1)^{n-i}} \]

综上，总合法方案数为：

\[f(D)=2^{(D+1)^n}-\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} \dbinom{n}{i} 2^{D^i(D+1)^{n-i}} \]

时间复杂度 \(O(T \log n)\)

Code

Talk is cheap.Show me the code.

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x * f;
}
const int N = 1007, mod = 1000000007;
int n,D;
int jc[N];
int Pow(int x,int y,int qmod) {
	int res = 1, base = x;
	while(y) {
		if(y&1) res = res*base%qmod; base = base*base%qmod; y >>= 1;
	}
	return res;
}
int Inv(int x) {
	return Pow(x,mod-2,mod);
}
int Calc(int x,int y) {
	return jc[x]*Inv(jc[y]*jc[x-y]%mod)%mod;
}
int f(int d) {
	int U = Pow(2,Pow(d+1,n,mod-1),mod), C = 0;
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		C = (C + (i&1 ? 1 : -1)*Calc(n,i)*Pow(2,Pow(d,i,mod-1)*Pow(d+1,n-i,mod-1)%(mod-1),mod)%mod + mod)%mod;
	}
	return (U - C + mod) % mod;
}
void work() {
	n = read(), D = read();
	printf("%lld\n",(f(D)-f(D-1)+mod)%mod);
}
void Init() {
	jc[0] = 1;
	for(int i=1;i<N;++i) jc[i] = (jc[i-1] * i) % mod;
}
signed main()
{
	Init();
	int T = read();
	while(T--) work();
    return 0;
}
/*
5
1 10
2 1
2 10
3 1
3 3

512
9
498134775
217
548890725
*/

Summary

容斥原理。